4.1.1. Приклад визначення комплексного коефіцієнта підсилення нелінійної ланки.

Визначити комплексний коефіцієнт підсилення релейної ланки з неоднозначною амплітудною характеристикою з гістерезісом (рис.4.3).

Рис.4.3.

При малих вхідних сигналах вихідний сигнал дорівнює нулю і тому . При вихідний сигнал має вид прямокутних імпульсів. Момент спрацювання відповідає значенню сигналу на виході НЛ

або . (4.5)

Момент відпускання відповідає значенню сигналу на виході НЛ

, (4.6)

де

.

Скориставшись виразом (4.1), отримаємо дійсну частину :

.

Але з (4.5) та (4.6) слідує

, .

Тому

.

Використовуючи (4.3), отримаємо уявну складову :

.

Загальний вираз для комплексного коефіцієнта підсилення релейної ланки має вигляд

.

Характер залежності інверсного годографа від амплітуди сигналу показаний на рис.4.2.

2. Метод статистичної лінеаризації.

Метод заснований на заміні нелінійних перетворень процесів статистично еквівалентними їм лінійними перетвореннями. При цьому нелінійний елемент НЕ (рис.4.4), на виході якого діє випадковий процес , заміняється лінійним еквівалентом ЛЕк, вихідний процес якого . В результаті вказаної заміни система в цілому лінеаризується і до неї застосовуємо апарат лінійної теорії.

Рис.4.4

Можливі такі критерії статистичної лінеаризації нелінійної безінерційної ланки з характеристикою :

1. Рівність математичних очікувань і дисперсій процесів и на виході НЕ и ЛЕк.

2. Середній квадрат різниці процесів на виході НЕ і ЛЕк повинен бути мінімальним.

Розглянемо докладніше перший критерій. Представимо и у вигляді

; ,

де , - математичні очікування;

, - центровані випадкові складові процесів і .

Для апроксимації нелінійного перетворення виберемо залежність вигляду

.

Величини і є коефіцієнтами статистичної лі­неаризації НЕ і вибираються з умови статистичної еквівалентнос­ті процесів і .

Скориставшись першим критерієм, прирівняємо математичні очікування і дисперсії процесів и :

; .

Звідси витікає, що величини і визначаються виразами [1; 2]:

(4.7)

, (4.8)

де - щільність ймовірності випадкового процесу .

Другий критерій статистичної еквівалентності вимагає виконання умови

.

Підставляючи значення і , отримаємо

Для знаходження величин і , що доставляють мінімум серед­нього квадрата помилки, прирівняємо до нуля частні похідні цього виразу по і . В результаті отримаємо

;

.

Звідси слідує [1; 2] :

,

. (4.9)

Порівняння (4.7) - (4.9) показує, що знайдені двома спосо­бами коефіцієнти і збігаються, а и - різні.

Коефіцієнти статистичної лінеаризації і залежать не тільки від характеристики НЕ, але і від закону розподілу впливу . Часто приблизно вважають, що закон розподілу нор­мальный:

. (4.10)

Тоді коефіцієнти залежать від двох параметрів впливу - і