Имитационное моделирование экономических процессов

Процессом изучения дисциплины (далее - процессом) в распре­ деленном институте назовем неделимую функцию освоения дисцип­ лины студентом по утвержденной программе. Для реализации про­ цесса необходимы различные ресурсы.

В системе открытого образования ресурсы используются в рас­ пределенном режиме. Ресурсы распределенного института можно поделить на два типа: интеллектуальный ресурс (учитель) и учебный ресурс (далее - просто ресурс).

Учителя - это преподаватели кафедр, тренеры учебнотренировочных фирм, тьюторы-консультанты. Учителя предметно относятся к разным распределенным кафедрам через механизм «ат­ тестации».

Ресурсы - это комплекты учебно-практических пособий, студии (если есть дистанционная фаза типа телеконференции), режимы Интернет-доступа, аудитории (если есть очная фаза) и другие, без которых обучение студента может не состояться.

Процесс запущен, если возникла необходимость изучения дис­ циплины и распределенный институт имеет для этого ресурсы. За­ пуск процесса не означает, что в любой момент времени будет хотя бы один студент, изучающий эту дисциплину. Соответственно про­ цесс может бьггь снят (или отменен).

Далее будем полагать, что распределенный институт ориентиро­ ван прежде всего на индивидуализацию обучения студента. Поэтому с учетом случайных явлений, не зависящих от распределенного ин­ ститута, при массовом обслуживании студентов возможны техноло­ гические задержки: очереди к учителям и задержки из-за временной нехватки ресурсов. Возникает задача определения такого числа ре­ сурсов, при котором процесс обучения по конкретйой специально­ сти имел бы продолжительность не хуже заданной с учетом техно­ логических задержек.

При реализации обучения по специальности процессы могут иметь причинно-следственные связи. Поэтому можно говорить о том, что они образуют направленный граф (рис. 1.7). Применение методов сетевого планирорания и управления невозможно; основная трудность - это циклы. Циклы возникают по двум причинам: сту­ денты обучаются не по жесткому учебному плану (возможны раз­ личные индивидуальные планы), для отстающих студентов органи-

* В университетах используется более подходящее слово «курс». Однако в интересах поддержки общности с экономикой используется термин «процесс».

41

зуется повторное обучение (возврат к пройденной ранее, но не за­ щищенной дисдаплине для ее более глубокого изучения). Относи­ тельно пути студента по графу в каждый момент времени он нахо­ дится в определенном текущем процессе - в узле графа. Процесс, который передал студента в текущий процесс, назовем прои^одителем, а процесс, который примет студента после завершения текуще­ го, назовем потребителем.

1. Введение в	73. Дипломный
специальность	проект
Рис. 1.7. Сеть процессов (курсов) при обучении по специальности
Рассмотрим	возможные диаграммы состояний процесса

(рис. 1.8). Если мощности ресурсов бесконечны либо каждый про­ цесс используется вместе с постоянно закрепленными за ним ре­ сурсами, то возможны два состояния (рис.1.8,а): ожидание студен­ тов (ЖС) и вьшолнение процесса изучения дисциплины (ПУ). В таких ситуациях не возникает необходимости в незапланированных ресурсах: у студента есть учебный план. В состояние ПУ процесс попадает, получив студента от процесса-производителя. После изу­ чения дисциплины студент переходит к процессу-потребителю и попадает в состояние ЖС, если какой-либо производитель не подго­ товил следующего студента.

Вболее peajuHOM случае (рис. 1.8,6) при конечных мощностях глобальных ресурсов появляется состояние ожидания ресурса, когда процессу (точнее, студенту в процессе изучения дисциплины) нуж­ ны ресурсы (HP).

Вусловиях реального университета, когда обучение контроли­ руется, а вьщеление ресурсов и их возвращение осуществляется с помощью процессов планирования и распределения ресурсов, вво-

42

дятся еще два состояния (рис.1.8,в): подготовка к вьшолнению (ТВ) и завершение выполнения - контрольные мероприятия, экзамены, зачеты (ЭЗ).

Когда возникает потребность в незапланированных ресурсах, то возможны обратные переходы типаПУ-^НР (рис. 1.8,6,1.8,в). Такие переходы могут привести к блокировкам, которые можно разрешить с помощью известных решений задачи взаимного исключения.

Рис. 1.8. Диаграммы состояний процессов (курсов):

а- мощности ресурсов бесконечны; б - мощности ресурсов конечны;

в- мощности ресурсов конечны, есть накладные расходы времени;

же - ждет студентов; ГВ - готовится к выполнению; Щ - нужны ресурсы;

ПУ - учеба по дисдаплине; ЭЗ - экзамен, зачет

Во время подготовки к вьшолнению (ГВ) осуществляется плани­ рование ресурсов, а после завершения (ЭЗ) - возврат ресурсов в рас­ поряжение планирующих и распределяющих процессов.

Организация и взаимосвязь различных компонентов системы от­ крытого образования может быть рассмотрена относительно управ­ ления процессами в следующих подразделениях университета (рис. 1.9):

43

				Дисциплина	Студент
				изучена	перешел к
				студентом	следующей
					дисциплине
				Список новых дисциплин
f	УМс\			"^УМС
(	(запуск)		г * —	(отмена)
				• 1 2 ...
		Список процессов
			(курсов) N
			i	/Дирекция
				(режим)
	1	2
	Список			Список
	ресурсов 1			ресурсов М

Список выполняемых учебных процессов по дисциплинам

Процесс)

•••

(Процесс'

(не более N)

Рис. 1.9. Функциональные взаимосвязи организующих объектов в учебном процессе распределенного института

44

•управления учебной и учебно-методической работой (УУМР), которое ведает всеми ресурсами, относящимися к учебному процессу;

•дирекции распределенного университета, которая совместно с территориально-распределенными филиалами университета (парт­ нерами) отвечает за реализацию учебного плана;

•учебно-методологического совета (УМС), который работает при дирекции в качестве коллегиального совещательного органа для постоянного соверщенствования государственных образовательных стандартов (ГОС), изменяющихся примерно раз в пять лет, и учеб­ ного плана, который корректируется ежегодно (в рамках действую­ щего ГОС);

•кафедр (распределенных кафедр открытого образования). Ка­ федры - это обладатели интеллектуального ресурса (профессорскопреподавательского состава, тренеров (тьюторов-консультантов), аспирантов, докторантов и других преподавателей).

Далее перейдем к оценке времени изучения студентами дисцип­ лин учебного плана. Время прохождения всех дисциплин учебного плана студентом - это время пребывания заявки в стохастической сети {см. рис. 1.7). Заявки в такой сети будем назьшать «транзактами», чтобы отличать от других элементарных заявок.

Транзакт, попадая из одного узла сети (процесс-производитель) в другой узел (процесс-потребитель), свидетельствует о необходимо­ сти изучения студентом следующей дисциплины учебного плана. После этого процесс-потребитель выводится из состояния ЖС и попадает в состояние ГВ. После вьщеления ресурсов (HP), выполне­ ния функции (ПУ) и завершения выполнения контрольных меро­ приятий (ЭЗ) транзакт появляется на выходе узла-производителя, а процесс возвращается в состояние ЖС. Случайный интервал време­ ни, ограниченный моментом выхода процесса из состояния ЖС в начале изучения дисциплины и ближайшим моментом попадания в это состояние, назовем интервалом активности процесса. Длитель­ ность пребывания транзакта в соответствующем узле - это интервал активности. Для оценки времени реакции системы открытого обра­ зования, реализуемой в рамках распределенного института по учеб­ ному плану, необходимо уметь рассчитывать значения интервалов активности всех процессов, входящих в состав сети.

Оценка интервала активности процесса. Далее построим ите­ рационную процедуру, позволяющую провести соответствующие оценки. Обозначим А - начало очередной итерации; Б - конец оче­ редной итерации.

45

А. Начало итерации. Пронумеруем N узлов стохастиче­ ской сети, характеризующих конкретный план, индексами у и пред­ положим справедливость допущений:

1) известны средние значения всех интервалов активности (щ .y-U2,..., N (только в каком-то приближении, так как их необхо­ димо рассчитать);

2) известны вероятности поступления транзакта из каждого процес­ са-производителя в любой процесс-потребитель 7t,„ , j,n=\,2 N; эти вероятности определяются исходя из параметров набора учеб­ ных планов, индивидуальных схем обучения и числа студентов, проходящих через систему открытого образования;

3) сеть, отображающая конкретный учебный план, является пол­ нодоступной с матрицей передач П=[л,„], причем вероятность по­ ступления транзакта в процесс-потребитель п в течение интервала времени (t, /н-А,) является линейной комбинацией с постоянными

коэффициентами я,„ вероятностей появления	заявок на выходах
вершин-производителей с HouepahmjJ-l,!	N.

Такие допущения могут быть в какой-то степени справедливы, если учебный процесс находится в стационарном режиме (если пе­ реходные процессы и были, то они завершились). Поэтому при их выполнении можно получить среднее время изучения всех дисцип­ лин учебного плана по формуле для замкнутых сетей:

		1 ^
где t^	-	ч)едняя длительность HjrrqjBMa активности;
\j	-	интенсивность запросов на курс с номеромУ;

X.- интенсивность поступления потока студентов, желающих обучаться по данному учебному плану.

Поэтому для оценки времени выполнения учебного плана необ­ ходимо знать средние значения интервалов активности всех про­ цессов.

Для анализа интервала активности необходимо рассмотреть «не­ традиционную модель» массового обслуживания. Введем условные обозначения параметров временных интервалов:

/ж - процесс ждет студентов (состояние ЖС);

tr	- готовится к выполнению (состояние ГВ);
/н	- процессу нужны ресурсы (состояние HP);

46

t„	- процесс учебы (состояние ПУ);
da	- дисперсия процесса учебы;		(состояние	ЭЗ);
г,	- экзамен, зачет, контрольное мероприятие
/р	- длительность ожидания запроса в очереди к ресурсу;
1щ	- длительность интервала активности	процесса;
Гс	- основная составляющая интервала активности tc = t „ - t r ;
to	- длительность ожидания первого элемента		ресурса;
г,	- длительность ожидания какого-либо ресурса;
tq	- длительность ожидания обслуживания в очереди к ресурсу;
/,	- длительность обслуживания в очереди к ресурсу;
/v	- время ожидания из-за нехватки элементов		ресурса;
С	- время ожидания запрощенного элемента		ресурса;
Сг	- коэффициент вариации времени ожидания ресурса;			в очеред
Cs	- к о э ф ф и ц и е н т вариаций времени	обслуживания
Са	к ресурсу;
	- коэффициент вариации интервала запросов к ресурсу.

На интервале активности процесс может находиться в состояни­ ях ГВ, HP, ПУ и ЭЗ. Будем считать, что ресурсы выделяются во вре­ мя пребывания в состоянии HP (интервал t^,), а освобождаются все сразу - в конце интервала пребывания в состоянии ЭЗ (по истечении t^y, оба эти интервала - детерминированные величины. Интервал активности равен:

где й ' - длительность пребывания в состоянии HP; <W -длительностьпрсбывания в состоянии ПУ;

J- номер процесса, 7=1,2, ....,М

(Г)- индекс, показывающий случайный х^актер индексируемой величины.

Будем считать, что величины /^ и /,; известны, а интервал /^^ за­ дан с помощью математического ожидания Гп и дисперсии da . Ин­ тервал t^^ можно определять с помощью одного из трех возможных

способов:

1) исходя из характеристик'распределенного института (голов­ ного университета, осуществляющего открытое образование);

2)с помощью хронометрирования;

3)если институт осуществляет приоритетное обслуживание для

некоторых категорий учащихся, то £^ - это цикл обслуживания; методика определения цикла обслуживания для потоков типа пуассоновского или rpyiraoBoro и формулы для расчетов приведены в работе [19].

47

Предположим, что в распоряжении института имеется М гло­ бальных ресурсов, используемых при обучении. Мощность каждого ресурса - Si элементов, а для выполнения процесса (изучения курса) у предварительно необходимо вьщелить R,j элементов каждого ресур­ са. Причем О ^ У < 5,,/=1,2 M,j=\,2 N.

Поставим в соответствие началу интервала активности момент появления транзакта на входе модельной системы, изображенной на рис. 1.10,а. Этот транзакт попадает на вход генератора, на каждом /-М выходе которого через время t^j появятся порции R,j заявок, которые распределяются по S, очередям. Длительность обслужива­ ния в каждой очереди fO - это интервал времени, начинающийся в

момент вьщеления процессу первого элемента ресурса i из набора свободных ресурсов и заканчивающийся моментом возвращения всех Ry элементов в этот набор (каждому ресурсу соответствует свой менеджер обслуживания, контролирующий очередь).

Через какой-то интервал времени

toij -vamymj]

на входе счетчика появится первая удовлетворенная заявка очереди /-Г0 ресурса. После этого проходит еще Лу-1 случайных интервалов, пока не появятся остальные заявки (каждая соответствует одному вьщеленному элементу). Если считать, что интенсивность освобож­ дения процессами элементов стационарна, то каждый из

R,j -1 интервалов в среднем равен t„ IS,, где t„ = М 4'^ ] • Через время

4?=max{^«)

Ry

появится последняя заявка, соответствующая вьщелению последнего из запрошенных r,j элементов i-ro ресурса, после чего учебный про­ цесс выполняется (за время t^^ ) и завершается контрольными меро­ приятиями (за время /,,). Поток заявок, поступающий на вход рас­ сматриваемой модели, - неординарный с интенсивностью Xj. Мы не рассматриваем классический учебный процесс классического универ­ ситета, строящийся по принципу объединения: специальность<:> учебный планоучебное расписаниеоконтингент (группы студентов).

48

	ОчередьХ
	>-^
I	Очвредь\		S
			с
	Ь н ^
	Очередь\		г
	U^		Е
6			1
	Очередь\
Ru R•V RH •^MJ	^	'
	Счетчик до		Выполняе­
Требования ресурсов		м	мый
			процесс
		/=1

ги/(0

' r j

Ожидание	Г0 _ п,ахЬ(')1	.(0
ресурсов:	?н; - "^f^ Up^J		'з;
	/ 0

14		"'-^		» i
		Лу-1 отрезков
4	"	»||	1 г	•
	В среднем: - ^	^	^	R/
	/ 0

/ 0

Рис. 1.10. Модель анализа интервала активности процесса:

а - схема массового обслуживания в пределах интервала аетивности; б- временные диаграммы элементарных процессов

49

Однако есть две причины, позволяющие предположить возник­ новение в модели режима открытого образования случайных групп в потоках траизактов:

•один студент может привести несколько студентов (а в модели один транзакт может породить группу других транзактов);

•в учебном плане могут быть щослы.

Сеть процессов, образующих учебный план, - довольно сложная, полнодоступная. Поэтому в практических расчетах будем считать, что поток групп - пуассоновский, а размер группы распределен по закону обобщенного распределения фланга.

Одно из свойств групповых потоков заключается в том, что ст превосходит математическое ожидание интервала между заявками, поэтому коэффициент вариации с > 1. Формула для оценки среднего размера группы заявок при обобщенном распределении Эрланга имеет вид

"4(1+с'

Это соотношение позволяет отслеживать появление груттовых потоков в реальных системах или в их имитационных моделях. Осо­ бенность обобщенного распределения Эрланга заключается в том, что его применение позволяет выполнить расчет на худший случай (при перегрузках).

Далее воспользуемся свойствами полученного распределения. Поэтому применим гипотезу Л. Клейнрока о независимости не к потокам заявок, а к потокам групп заявок. Коэффициент вариации интервала поступления с/ в групповом потоке такого типа не меньше единицы. Исходя из свойств рассмотренного распределения, сред­ ний размер случайной группы ^ связан с коэффициютом вариации

соотношениями:

rij =~li+Cj j и, наоборот, Cj =2ir^ - 1 .

Определим интенсивность потока, поступающего к одному из-5/ элементов i-ro ресурса

1 ^

Xri'^^Z^ ^jRy

50