Управление и оптимизация / Voronin - Matematicheskiye modeli organizatsiy 2008

управления сложными иерархиями, которое предполагает теория контрактов.

В[39] на основе классической модели неблагоприятного отбо-

ра (adverse selection) [22] исследуется влияние децентрализации контрактов на эффективность функционирования организации. Рассматривается система, состоящая из двух агентов и центра, получающего доход от выбранных агентами действий. Выбор агентом действия требует от него затрат, которые зависят от персональных характеристик этого агента, т.н. типа агента. Тип агента является его частной (известной только ему) информацией. Каждый агент получает вознаграждение, зависящее от выбранного им действия и от сообщенного им центру значения своего типа (в общем случае, отличного от истинного).

Вклассической модели центр непосредственно взаимодействует с обоими агентами и предлагает им вознаграждения (контракты), основанные на действиях агентов и сообщенных ими оценках своего типа. Решение этой задачи хорошо известно [22], как и формула средней прибыли центра при оптимальных контрактах.

Такая схема взаимодействия центра с агентами соответствует двухуровневой иерархии. Авторы предлагают сравнить ее эффективность с эффективностью децентрализованной схемы, в которой центр заключает контракт только с первым агентом и делегирует ему право заключать субконтракт со вторым агентом. Выигрыш, получаемый центром от децентрализации, не рассматривается в явном виде, и цель статьи [39] состоит в нахождении условий, при которых децентрализация не приводит к уменьшению эффективности механизмов стимулирования (известно, что рассматриваемой постановке децентрализация не увеличивает эффективности).

Рассматриваются несколько сценариев взаимодействия сотрудников организации в рамках децентрализованной схемы. В первом сценарии центр может непосредственно наблюдать действия обоих агентов и предлагать первому агенту контракт, зависящий от пары действий. Авторы показывают, что при таком сценарии центр может предложить первому агенту контракт, приводящий к тому же значению прибыли центра и к тем же действиям агентов, что и в централизованной схеме.

Дела обстоят хуже в сценарии, где центр наблюдает лишь значение дохода и не может выделить индивидуальные вклады агентов

вего достижение. В этом случае контракт с первым агентом основан

241

только на наблюдаемой сумме дохода и сообщении агента о своем типе, и у этого агента появляется возможность перераспределять действие второго агента «в свою пользу». Доказывается, что это приводит к строгому уменьшению эффективности функционирования организации.

Третий сценарий отличается от первого тем, что первый агент сообщает центру значение своего типа уже после того, как заключает контракт со вторым агентом. При достаточно слабых предположениях относительно функции дохода центра эффективность функционирования здесь также хуже, чем в условиях полной централизации. Причина состоит в том, что первый агент в этом сценарии имеет возможность, узнав тип второго агента, отклонить предлагаемый центром контракт, получив при этом нулевое вознаграждение, но и не подвергая себя лишнему риску.

Похожий подход к анализу децентрализованных контрактов предлагается в работе [36], где авторы основываются на другой классической модели теории контрактов – задаче постконтрактного оппортунизма (moral hazard) [22]. В отличие от модели неблагоприятного отбора, агенты в ней не имеют частной информации, но результат действий агентов помимо их усилий зависит от случайных факторов – состояния природы (state of nature).

Как и в [39], в работе [36] рассматривается организация, состоящая из центра и двух агентов. В централизованной структуре центр предлагает агентам контракты, зависящие от наблюдаемого им результата действий агентов, и его задача состоит в максимизации своей ожидаемой прибыли. Решение этой задачи хорошо известно из литературы – см. обзор в [22].

Эффективность централизованной структуры сравнивается с эффективностью децентрализованной, в которой центр заключает контракт с одним из агентов, делегируя ему право заключать контракт с другим агентом и выплачивать ему вознаграждение. Показывается, что схема приносит центру не больший ожидаемый выигрыш, чем централизованная структура. Одинаковую эффективность можно гарантировать лишь тогда, когда агенты нейтральны к риску (см. определение в [22]) или когда они идентичны.

В статье [38] Э. Маскина, Ч. Киана и Ч. Ксу в рамках относительно простой модели рассматриваются сравнительные преимущества двух наиболее широко распространенных организационных структур: функциональной, или унитарной (U-организации) и муль-

242

тидивизиональной (M-организации). В функциональной структуре подразделения сводятся в более крупные объединения на основе сходства выполняемых ими функций. В дивизиональной структуре подразделения объединяются по географическому признаку, формируя относительно самодостаточные дивизионы, или по продуктовому признаку, формируя независимые «продуктовые линии».

Предлагаемая в [38] модель описывает экономику, состоящую из двух отраслей и двух регионов. Всего имеется четыре производственных подразделения (завода) – по одному на каждую комбинацию региона и отрасли. На объем производства каждого завода влияют случайные факторы трех типов: общеэкономические факторы, факторы, специфичные для данной отрасли, и специфичные для региона.

		Топ-				Топ-
		менеджер				менеджер
	Отраслевой		Отраслевой			Региональный
						менеджер 2
	менеджер 1		менеджер 2		Региональный
					менеджер 1
Регион 2		Завод	Завод	Регион 2		Завод	Завод
Регион 1	Завод	Завод		Регион 1	Завод	Завод
Отрасль 1		Отрасль 2		Отрасль 1		Отрасль 2
		а)				б)
	Рис. 4.3. U-иерархия (а) и M-иерархия (б)

Над множеством заводов надстраивается иерархия менеджеров, задача которых состоит в борьбе с отрицательным влиянием случайных факторов, находящихся в их зоне ответственности. Рассматриваются две возможных организационных иерархии – U- и M-типа (см. Рис. 4.3). В U-организации топ-менеджер занимается общеэкономическими факторами. Ему подчинены два менеджера, отвечающих за отдельную отрасль. Каждому из этих менеджеров подчинены

243

два директора заводов, относящихся к этой отрасли. Усилия директоров направлены на борьбу с региональными факторами, влияющими на подчиненные им заводы. В M-организации менеджеры среднего звена отвечают не за отрасль, а за регион, и, соответственно, директора заводов борются уже не с региональными, а с отраслевыми факторами.

Авторы [38] показывают, что если суммарные объемы выпуска по регионам взаимосвязаны сильнее, чем суммарные выпуски по отраслям, то менеджерам M-организации можно предложить более эффективные вознаграждения, и M-организация будет выгоднее U- организации с точки зрения приносимой ею прибыли.

Рассмотренные в настоящем разделе модели сравнивают между собой очень небольшое число простых иерархий. Это связано с громоздкостью и трудоемкостью анализа задач мотивации в условиях неопределенности. Выше в разделе 2.4 описывается теоретикоигровая модель формирования иерархии, позволяющая исследовать организации, состоящие из произвольного количества сотрудников и изучать сложные организационные иерархии. Модель не накладывает ограничений на вид целевых функций и потому позволяет описывать широкий класс прикладных задач.

Итак, теоретико-игровой анализ задачи формирования организационной иерархии показывает, что:

-вид организационной структуры оказывает существенное влияние на интересы составляющих ее менеджеров и на принимаемые ими решения,

-оптимальная структура существенно зависит от эффективности стимулов, которые могут быть обеспечены менеджерам,

-эффективность стимулов, в свою очередь, зависит от уровня неопределенности и от возможностей мониторинга работы менеджеров,

-как правило, децентрализация права заключения контрактов уменьшает эффективность функционирования организации, хотя в ряде случаев подобного снижения эффективности удается избежать.

244

4.2. Базовая модель иерархии управления

Проведенный обзор показывает, что на данный момент отсутствует единая математическая модель формирования организационных иерархий, и имеющиеся подходы существенно отличаются друг от друга определениями самого понятия иерархии, обоснованием ее роли в функционировании организации, а также используемым математическим аппаратом. Существенно различаются и выводы относительно вида рациональных организационных структур и закономерностей их формирования.

На данном этапе развития теории одной из перспективных задач представляется разработка общих, не привязанных к конкретной содержательной интерпретации, моделей и методов формирования рациональных иерархических структур, которые позволяли бы описывать широкий класс прикладных задач.

Вбазовой модели, рассматриваемой в настоящем разделе, определяется иерархия, управляющая множеством исполнителей. Затраты менеджера иерархии зависят от потоков между теми исполнителями, которыми управляет менеджер. Приводятся примеры, показывающие, что подобная функция затрат может описывать ряд эффектов, имеющих место на практике – в реальных организациях. Функция затрат позволяет сравнивать иерархии друг с другом. Если функция соответствует реальной организации, то можно рассчитать затраты нескольких «типичных» вариантов иерархии и определить наилучший вариант. Однако гораздо важнее, что при наличии функции затрат можно поставить задачу поиска оптимальной иерархии, имеющей минимальные затраты среди всего множества иерархических структур, управляющих заданным множеством исполнителей. Затраты оптимальной иерархии могут быть значительно ниже затрат «типичных» вариантов. Поэтому весьма важно найти оптимальную иерархию. Несмотря на большую сложность этой задачи, в ряде случае ее удается решить (см. ниже).

Вчастности, находится оптимальная иерархия над симметричной производственной линией, а также неформально рассматривается модель сравнения дивизиональной, функциональной и матричной иерархии, описанная в работе [10]. Более сложные постановки в рамках базовой модели не исследуются, поскольку удобнее исследовать сразу общую модель (см. раздел 4.3).

245

w, w', w'' N

4.2.1. Иерархии управления технологической сетью

Пусть N = {w1, …, wn} – множество исполнителей, которые могут взаимодействовать друг с другом. Через wenv будем обозначать внешнюю среду, взаимодействующую с исполнителями. Иногда исполнители будут обозначаться через .

Функцией потока назовем следующую функцию:

(1)	f : (N {w }) × (N {w			}) → R p ,
		env	env	+
то	есть	для каждой	пары	исполнителей w', w'' N		вектор
f (w', w'')		определяет интенсивность потоков между			′	и w'' .
					w

Этот вектор содержит p неотрицательных компонент. Каждая компонента определяет интенсивность одного типа взаимодействия исполнителей (материальный, информационный или прочий тип потока). Таким образом, технология взаимодействия исполнителей определяет функцию потока f или взвешенную технологическую сеть (N, f).

В работе технологическая сеть считается неориентированной, поскольку в рассматриваемой модели направление потока не играет роли ( w', w'' N f (w', w'') = f (w'', w') ).

Будем говорить, что между парой исполнителей отсутствует связь тогда и только тогда, когда поток между исполнителями нулевой. Предполагаем, что сеть не содержит петель, то есть для любого исполнителя w выполнено f(w, w) = 0.

Рассмотрим пример. Пусть N = {w1, w2, w3} и p = 1, то есть имеются трое исполнителей и потоки одного типа. Будем считать,

что в технологической сети имеются четыре связи f (wenv , w1 ) = λ ,

f (w1 , w2 ) = λ , f (w2 , w3 ) = λ , f (w3 , wenv ) = λ , где λ – вектор интенсивности потоков. Эта технологическая сеть изображена на Рис. 4.4. Данный пример может соответствовать производственной линии («бизнес-процессу»). Исполнитель w1 принимает сырье от поставщика, проводит первичную обработку и передает результат исполнителю w2. Тот выполняет очередную технологическую операцию и передает результат далее. Последний исполнитель (в примере – w3), выполнив последнюю технологическую операцию, отгружает продукцию потребителю.

246

λ

w1

λ

w2

λ

w3

λ

Рис. 4.4. Симметричная производственная линия

Сеть с	исполнителями N = {w1, …, wn}			и потоками
f (wenv , w1 ) = λ ,	f (wi−1 , wi ) = λ	для	всех	2 ≤ i ≤ n ,
f (wn , wenv ) = λ	будем ниже называть симметричной производст-

венной линией1, а λ – интенсивностью линии.

Обозначим через M конечное множество менеджеров, управляющих взаимодействием исполнителей. Менеджеры обычно будут обозначаться через m, m', m'', m1, m2 ,K M .

Пусть V = N M – все множество сотрудников организации (исполнителей и менеджеров). Рассмотрим множество ребер подчиненности E V × M . Ребро (v,m) E означает, что сотрудник

v V является непосредственным подчиненным менеджера m M , а m – непосредственным начальником сотрудника v. Таким образом, ребро направлено от непосредственного подчиненного к его непосредственному начальнику.

Сотрудник v V является подчиненным менеджера m M (менеджер m является начальником сотрудника v), если существует цепочка ребер подчиненности из v в m. Будем также говорить, что начальник управляет подчиненным, или подчиненный управляется начальником. Дадим строгое определение иерархии.

Определение 4.1. Ориентированный граф H = (N M , E) с множеством менеджеров M и множеством ребер подчиненности E (N M )× M назовем иерархией, управляющей множеством

исполнителей N, если граф H ацикличен, любой менеджер имеет подчиненных и найдется менеджер, которому подчинены все исполнители. Через Ω(N) обозначим множество всех иерархий.

Ацикличность означает, что не существует «порочного круга» подчиненности, в котором каждый менеджер является одновременно и начальником, и подчиненным всех остальных. Определение 4.1 также исключает ситуации, в которых имеются «менеджеры» без

1 Все остальные потоки подразумеваются равными нулю.

247

подчиненных, так как это противоречит роли менеджера, который должен управлять некоторыми сотрудниками.

Существование менеджера, которому подчинены все исполнители, означает, что у любого множества исполнителей найдется общий начальник, то есть иерархия способна управлять взаимодействием всех исполнителей.

Рис. 4.5. К определению иерархии

Рис. 4.5 иллюстрирует введенное определение. Исполнители на нем изображены темными кружками и пронумерованы арабскими цифрами, а менеджеры изображены светлыми кружками и пронумерованы латинскими цифрами. Графы а)-в) являются иерархиями, управляющими множеством исполнителей N = {1, …, 4}. Определенные таким образом иерархии позволяют описывать часто встречающиеся в практике управления эффекты, например, межуровневое взаимодействие, когда менеджер непосредственно управляет и другими менеджерами, и исполнителями (менеджер II иерархии б), а также множественное подчинение, когда сотрудник имеет более одного непосредственного начальника (менеджер I в иерархии б), исполнитель 3 в иерархии в). Определение 4.1 иерархии допускает наличие в ней нескольких менеджеров, не имеющих начальников (менеджеры II и III иерархии б), а также менеджеров, имеющих

248

единственного непосредственного подчиненного (менеджер III иерархии б).

В то же время, графы г)-е) иерархиями не являются. В графе г) исполнитель с номером 3 имеет подчиненных, в графе д) нет топменеджера, который управлял бы всеми исполнителями, в графе е) менеджер II не имеет подчиненных, кроме того, этот граф содержит цикл 1→I→III→1.

Для определения затрат менеджера необходимо формализовать его «роль» в организации (обязанности, объем выполняемой работы и т.п.). Считаем, что «роль» менеджера определяется теми исполнителями, которыми управляет менеджер. Ниже введено соответствующее определение группы, управляемой менеджером.

Группой исполнителей s N назовем любое непустое под-

множество множества исполнителей.

По определению 4.1 в любой иерархии H каждый менеджер имеет, по крайней мере, одного непосредственного подчиненного. Начав с любого менеджера m, мы можем двигаться по иерархии «сверху вниз» к подчиненным менеджера m. В итоге можно определить множество исполнителей, подчиненных менеджеру m. Будем называть это множество подчиненной группой исполнителей и обо-

значать sH (m) N . Будем также говорить, что менеджер m управ-

ляет группой исполнителей sH(m). Ниже в обозначении группы sH(m)

будем опускать нижний индекс, если ясно, о какой иерархии идет речь. Также будем считать, что исполнитель w N «управляет» простейшей группой sH(w)={w}, состоящей из него самого.

менеджер m

непосредственный непосредственный

подчиненный подчиненный подчиненный подчиненный

подчиненная группа испо- лнителей sH(m)

Рис. 4.6. Менеджер и подчиненная ему группа исполнителей

249

На Рис. 4.6 плоскость соответствует технологической сети, над которой надстраивается иерархия. Над плоскостью изображена часть иерархии, подчиненная менеджеру m. Она состоит из непосредственных подчиненных менеджера m и подчиненных, которыми менеджер m не управляет непосредственно. Подчиненная группа исполнителей sH(m) обведена на рисунке эллипсом.

Сформулируем простую лемму [10], необходимую для дальнейшего изложения.

Лемма 4.1. Для любой иерархии H и любого менеджера m M выполнено sH (m) = sH (v1 ) K sH (vk ) , где v1, …, vk – все непосредственные подчиненные менеджера m. Для любого подчиненного v менеджера m выполнено sH (v) sH (m) .

Проиллюстрируем результат леммы на примере. На Рис. 4.6 a) менеджеру m непосредственно подчинены менеджеры m1 и m2. Менеджеру m подчинена группа s(m)={w1, w2, w3, w4}. Менеджерам

m1 и m2 подчинены группы s(m1)={w1, w2} и s(m2)={w3, w4} соответственно. Таким образом, группа s(m) разбивается на две подгруппы

s(m1) и s(m2): {w1, w2, w3, w4}={w1, w2} {w3, w4}. В данном примере подгруппы не пересекаются. В общем случае, как показано на Рис.

4.6 б), пересечения могут иметь место.
a)		m		б)
m1			m2
w w w w				w1 w2 w3 w4
1	2	3	4

Рис. 4.7. Примеры иерархий над производственной линией

Определим несколько частных видов иерархии и введем важное понятие нормы управляемости.

Определение 4.2. Иерархию назовем деревом, если в ней только один менеджер m не имеет начальников, а все остальные сотрудники имеют ровно одного непосредственного начальника. Менеджера m будем называть корнем дерева.

На Рис. 4.7 a) изображен пример дерева. Напротив, иерархия б) деревом не является, так как в ней один менеджер имеет двух

250