Управление и оптимизация / Voronin - Matematicheskiye modeli organizatsiy 2008

Если qi – представления i-го агента о неопределенном парамет- ре, а qii – представления i-го агента о собственном представлении, то естественно считать, что qii = qi. Иными словами, i-й агент правиль- но информирован о собственных представлениях, а также считает, что таковы и другие агенты и т. д. Формально это означает, что выполнена аксиома автоинформированности, которую далее будем предполагать выполненной:

" i Î N " τ, σ Î S qτiiσ = qτiσ .

Эта аксиома означает, в частности, что, зная qτ для всех t Î S+, таких что |t| = g, можно однозначно найти qτ для всех t Î S+, таких что |t| < g.

Наряду со структурами информированности Ii, i Î N, можно рассматривать структуры информированности Iij (структура инфор- мированности j-го агента в представлении i-го агента), Iijk и т.д.

Отождествляя структуру информированности с характеризуемым ею агентом, можно сказать, что, наряду с n реальными агентами (i- агентами, где i Î N) со структурами информированности Ii, в игре участвуют фантомные агенты (τ-агенты, где t Î S+, |τ| ³ 2) со структурами информированности Iτ = {qτσ}, s Î S, существующие в сознании реальных агентов.

Определим фундаментальное для дальнейших рассмотрений понятие тождественности структур информированности. Структуры информированности Iλ и Iμ (l, m Î S+) называются тождественны- ми, если выполнены два условия:

1.qλσ = qμσ для любого s Î S;

2.последние индексы в последовательностях λ и μ совпадают.

Будем обозначать тождественность структур информированно- сти следующим образом: Iλ = Iμ .

Понятие тождественности структур информированности позво- ляет определить их важное свойство – сложность. Заметим, что наряду со структурой I имеется счетное множество структур Iτ , t Î S+, среди которых можно при помощи отношения тождествен- ности выделить классы попарно нетождественных структур. Коли-

чество этих классов естественно считать сложностью структуры информированности.

Будем говорить, что структура информированности I имеет ко- нечную сложность n = n(I), если существует такой конечный набор

111

попарно нетождественных структур { Iτ1 , Iτ 2 , …, Iτν }, τl Σ+, l {1, …, ν}, что для любой структуры Iσ , σ Σ+, найдется тожде- ственная ей структура Iτ l из этого набора. Если такого конечного

набора не существует, будем говорить, что структура I имеет беско- нечную сложность: ν(I) = ∞.

Структуру информированности, имеющею конечную слож- ность, будем называть конечной (еще раз отметим, что при этом дерево структуры информированности все равно остается бесконеч- ным). В противном случае структуру информированности будем называть бесконечной.

Ясно, что минимально возможная сложность структуры инфор-

мированности в точности равна числу участвующих в игре реальных агентов (напомним, что по определению тождественности структур информированности они попарно различаются у реальных агентов).

Любой набор (конечный или счетный) попарно нетождествен- ных структур Iτ, τ Σ+, такой, что любая структура Iσ, σ Σ+, тож- дественна одной из них, назовем базисом структуры информиро- ванности I.

Если структура информированности I имеет конечную слож- ность, то можно определить максимальную длину последовательно- сти индексов γ такую, что, зная все структуры Iτ, τ Σ+, |τ| =γ, мож- но найти и все остальные структуры. Эта длина в определенном смысле характеризует ранг рефлексии, необходимый для описания структуры информированности.

Будем говорить, что структура информированности I, ν(I) < ∞,

имеет конечную глубину γ = γ (I), если

1.для любой структуры Iσ, σ Σ+, найдется тождественная ей структура Iτ, τ Σ+, |τ| ≤γ ;

2.для любого целого положительного числа ξ, ξ <γ , существует

структура	Iσ, σ Σ+, не	тождественная никакой из	структур Iτ,
τ Σ+, |τ| =ξ .
Если	ν(I) = ∞, то и	глубину будем считать	бесконечной:

γ(I) = ∞.

Понятия сложности и глубины структуры информированности игры можно рассматривать τ-субъективно. В частности, глубина

112

структуры информированности игры с точки зрения t-агента, t Î S+, называется рангом рефлексии t-агента.

Если задана структура I информированности игры, то тем са-

мым задана и структура информированности каждого из агентов (как реальных, так и фантомных). Выбор t-агентом своего действия xτ в рамках гипотезы рационального поведения определяется его структурой информированности Iτ , поэтому, имея перед собой эту структуру, можно смоделировать его рассуждения и определить это его действие. Выбирая свое действие, агент моделирует действия других агентов (осуществляет рефлексию). Поэтому при определе- нии исхода игры необходимо учитывать действия как реальных, так и фантомных агентов.

Набор действий xτ*, t Î S+, назовем информационным равнове-

сием [33], если выполнены следующие условия:

1.структура информированности I имеет конечную слож- ность n;

2.λ, μ Σ Iλi = Iμi Þ xλi* = xμi*;

3." i Î N, " s Î S

(1)	x*	Arg max f	(θ	σi	, x*	,..., x*	, x	, x*	..., x*	) .
	σi	i			σi1	σi,i−1	i	σi,i+1	σi,n
		xi Xi

Первое условие в определении информационного равновесия означает, что в рефлексивной игре участвует конечное число реаль- ных и фантомных агентов.

Второе условие отражает требование того, что одинаково ин- формированные агенты выбирают одинаковые действия.

И, наконец, третье условие отражает рациональное поведение агентов – каждый из них стремится выбором собственного действия максимизировать свою целевую функцию, подставляя в нее дейст- вия других агентов, которые оказываются рациональными с точки зрения рассматриваемого агента в рамках имеющихся у него пред- ставлений о других агентах.

Удобным инструментом исследования информационного рав- новесия является граф рефлексивной игры, в котором вершины соответствуют реальным и фантомным агентам, и в каждую верши- ну-агента входят дуги (их число на единицу меньше числа реальных агентов), идущие из вершин-агентов, от действий которых в субъек- тивном равновесии зависит выигрыш данного агента.

113

Рассмотрим ряд иллюстративных примеров [33], обобщающих Пример 2.1 на случай нетривиальной взаимной информированности агентов. В этих примерах участвуют три агента с целевыми функ- циями следующего вида:

(2) fi (θ, x1 , x2 , x3 ) = (θ − x1 − x2 − x3 )xi − x2i2 ,

где xi ³ 0, i Î N = {1, 2, 3}; q Î W = {1, 2}.

Содержательно, xi – объем выпуска продукции i-ым агентом, q

– спрос на производимую продукцию. Тогда первое слагаемое в

целевой функции может интерпретироваться как произведение цены на объем продаж – выручка от продаж (см. модели олигополии Курно в [10]), а второе слагаемое – как затраты на производство.

Для краткости будем называть агента, считающего, что спрос низкий (q = 1), пессимистом, а считающего, что спрос высокий (q = 2) – оптимистом. Таким образом, во всех трех приведенных

ниже примерах ситуации различаются лишь вследствие различных структур информированности.

Пример 2.16. Пусть первые два агента оптимисты, а третий – пессимист, причем все трое одинаково информированы. Сложность данной структуры информированности равна трем, а глубина равна единице. Граф рефлексивной игры изображен на Рис. 2.3.

x1

x2

x3

Рис. 2.3. Граф рефлексивной игры в примере 2.16

Подставив (2) в (1), получим, что для нахождения информаци- онного равновесия надо решить следующую систему уравнений:

114

ìx* =

2 - x2* - x3*

,

ì

x

*

=

1

,

ï

1

3

ï

ï

1

2

ï

ï

2 - x*

- x*

1

ï

íx2* =

1

3

,

íx2*

=

,

3

2

ï

ï

ï

1- x*

- x*

ïx

*

= 0.

ïx3* =

1

2

,

ï

3

3

î

î

Таким образом, действия агентов в ситуации информационного равновесия будут следующими: x1* = x2* = 1/2, x3* = 0. ∙

Пример 2.17. Пусть первые два агента оптимисты, а третий – пессимист, который считает всех трех агентов одинаково информи- рованными пессимистами. Первые два агента одинаково информи- рованы, причем оба они адекватно информированы о третьем аген- те. Cложность данной структуры информированности равна пяти, а глубина равна двум. Граф рефлексивной игры изображен на Рис. 2.4.

x1

x2

x3

x31

x32

Рис. 2.4. Граф рефлексивной игры в примере 2.17

Подставив (2) в (1), получим, что для нахождения информаци- онного равновесия надо решить следующую систему уравнений:

115

ì

x

*

=

2 - x*

- x*

ì

9

ï

2

3

,

x

*

=

,

1

3

ï

20

ï

1

ï

2 - x*

- x*

ï

9

ïx2*

=

1

3

,

ïx2*

=

,

3

20

ï

ï

1- x

*

- x

*

ï

1

ï

31

32

ï

íx3*

=

,

íx3*

=

,

3

5

ï

ï

ï

1- x*

- x*

ï

*

1

ï

x*

=

32

3

,

ï

x31

=

,

5

31

3

ï

ï

1- x31* - x3*

1

ïx*

=

,

ïx32*

=

.

ï

32

3

ï

5

î

î

Таким образом, действия реальных агентов в ситуации инфор- мационного равновесия будут следующими (отметим, что с измене-

нием информированности изменились и равновесные действия агентов):

x1* = x2* = 9/20, x3* = 1/5. ∙

Пример 2.18. Пусть все трое агентов оптимисты, первый и вто- рой взаимно информированы, второй и третий также взаимно ин- формированы. По мнению первого агента, третий считает всех троих одинаково информированными пессимистами; также и пер- вый агент, по мнению третьего, считает всех троих одинаково ин- формированными пессимистами. Cложность данной структуры информированности равна шести, а глубина равна трем. Граф соот- ветствующей рефлексивной игры изображен на Рис. 2.5.

116

x2

x1

x3

x13

x31

x132

Рис. 2.5. Граф рефлексивной игры в примере 2.18

Подставив (2) в (1), получим, что для нахождения информаци- онного равновесия надо решить следующую систему уравнений:

ì

*

*

ïx1* =

2 - x2

- x13

,

ìx*

=

17

,

3

35

ï

ï

1

ï

2 - x*

- x*

ï

12

ïx2*

=

1

3

,

ïx2*

=

,

3

35

ï

ï

*

*

ï

17

ïx*

=

2 - x31

- x2

,

ïx*

=

,

3

35

ï

3

ï

3

í

1- x132* - x13*

í

1

ïx*

=

,

ïx31*

=

,

5

ï

31

3

ï

ï

1- x31* - x132*

ï

1

ïx*

=

,

ïx13*

=

,

5

ï

13

3

ï

ï

*

*

ï

*

1

ïx*

=

1- x31

- x13

,

ïx132 =

.

5

ï

132

3

î

î

117

Таким образом, действия реальных агентов в ситуации инфор- мационного равновесия будут следующими: x1* = x3* = 17/35, x2* = 12/35. ∙

В заключение настоящего раздела подчеркнем, что наличие мо- дели рефлексивной игры позволяет определить условия существо- вания и свойства информационного равновесия, а также конструк-

тивно и корректно сформулировать задачу рефлексивного управления, заключающуюся в поиске управляющим органом такой информационной структуры, что реализующееся в ней информаци- онное равновесие наиболее выгодно с его точки зрения – см. под- робности в [32].

2.4. Игры и оргструктуры

Выше мы рассмотрели основные понятия теории игр, перейдя от игр, в которых агенты выбирают свои действия одновременно (игра Г0 в нормальной форме или в форме характеристической функции) к иерархическим играм, в которых последовательность ходов фиксирована – первым делает ход центр, а затем – агент. Можно усложнять модель и дальше, переходя ко всё более сложным играм. Опишем общую картину (см. Рис. 2.6), которая позволяет увидеть логику перехода от более простых к более сложным зада- чам, чтобы сложная задача могла быть декомпозирована на простые.

Если имеется один субъект, принимающий решения (Рис. 2.6а), то он описывается с точки зрения гипотезы рационального поведе- ния (см. раздел 2.1.1) как стремящийся максимизировать свою целевую функцию. Далее можно усложнить модель и рассмотреть несколько субъектов на одном уровне (Рис. 2.6б), описав их взаимо- действие игрой Г0 в нормальной форме (см. раздел 2.3.1). Если ввести иерархию, то для двух субъектов (Рис. 2.6в) их взаимодейст-

вие описывается игрой Гi , где i = 1, 2 или 3 (см. раздел 2.3.2).

Представим себе, что имеется структура «один начальник – не- сколько подчиненных» (Рис. 2.6г). Взаимодействие агентов, нахо-

дящихся на одном уровне, можно описывать игрой Г0 . Взаимодей- ствие «начальник-подчиненный» описывается игрой Гi . Тогда

118

условно такую структуру можно представить игрой Гi , определен- ной на игре Г0 , условно обозначив ее Гi(Г0).

…

ГРП	Г0	Г i , i = 1,2,3	Гi (Г0 )
а)	б)	в)	г)

Г0 (Гi (Г0 ))	Г0 (Гi (...Гi (Г0 )...))
д)	е)

Рис. 2.6. Игры и оргструктуры

Далее, пусть есть несколько начальников (центров) и несколько подчиненных – агентов (Рис. 2.6д). На нижнем уровне агенты игра-

ют игру Г0 . Над ними центры играют иерархическую игру Гi , но центры, в свою очередь, разыгрывают на своем уровне игру Г0 .

Итого, получили игру Г0(Гi(Г0)).

Можно взять более сложную структуру с более сложным взаи- модействием (Рис. 2.6е). Это будет иерархическая игра между уров- нями, и «обычная» игра на каждом из уровней: Г0 (Гi (...Гi (Г0 )...)) .

Основная идея заключается в том, чтобы декомпозировать сложную структуру (игру) на набор более простых и воспользовать- ся результатами исследования последних. Оказывается, что между играми и структурами существует глубокая связь – момент приня-

119

тия субъектом решений определяет его «место» в организационной иерархии (см. подробности в [29]).

Далее мы поговорим о классификации задач управления орга- низационными системами, а затем в последующих главах начнем

рассматривать последовательно задачи управления для структур Рис. 2.6в-Рис. 2.6д, а затем и задачи синтеза самих организационных структур.

2.5. Классификация задач управления организационными системами

Описанные выше в настоящей главе модели принятия решений служат основой построения моделей функционирования организа- ционных систем. Перед тем как рассматривать те или иные кон- кретные классы таких моделей (см. последующие главы настоящей работы), приведем систему классификаций задач управления орга- низационными системами [31].

С точки зрения системного анализа любая система задается пе- речислением ее состава, структуры и функций. С учетом целена- правленности поведения участников организационных систем (ОС), их функции описываются в рамках моделей принятия решений – см.

выше. Поэтому модель организационной системы определяется заданием [31] (см. Рис. 2.7, а также описание игр в разделах 2.3.1 и 2.3.3):

-состава ОС (участников, входящих в ОС, то есть ее элемен-

тов);

-структуры ОС (совокупности информационных, управляю- щих, технологических и других связей между участниками ОС);

-множеств допустимых действий (ограничений и норм дея-

тельности) участников ОС, отражающих, в том числе, институцио- нальные, технологические и другие ограничения и нормы их совме- стной деятельности;

-предпочтений участников ОС (см. раздел 2.1);

-информированности – той информации о существенных па- раметрах, которой обладают участники ОС на момент принятия решений о выбираемых стратегиях;

120