29. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна умова. Достатні умови екстремуму

функції двох змінних.

Введемо позначення , , і покладемо , так що всі при Тоді різниця запишеться у вигляді:

Поведінка залежить від знаку виразу . Введемо полярні координати: де . Тоді 1) Нехай . В цьому випадку , і тричлен можна представити у вигляді: Звідси видно, що вираз у квадратних дужках завжди додатній, так що тричлен при всіх значеннях , не перетворюючись в нуль, зберігає знак коефіцієнта . Його абсолютна величина як неперервна на проміжку функція від має найменше значення : . З іншої сторони, якщо розглянути другий тричлен , то враховуючи, що всі при отримаємо: , якщо тільки досить мале. Тоді різниця буде мати той знак, що і . Отже, якщо , то і тобто функція в точці має мінімум.

2) Нехай <0 і нехай . Тоді знову можна скористатись перетворенням При вираз в квадратних дужках буде додатнім, або зведеться до . Навпаки, якщо визначити з умови , то цей вираз зведеться до ( ) і буде від’ємним. При досить малому другий тричлен як при , так і при буде як завгодно малим і знак визначиться знаком першого тричлена. Таким чином, поблизу точки на променях, визначених кутами і , різниця буде мати значення різних знаків. Тому в цій точці екстремуму бути не може. Якщо і тричлен зведеться до , то, користуючись тим, що , можна визначити кут так, що Тоді при і згаданий тричлен буде мати протилежні знаки. Таким чином, поблизу точки на променях, визначених кутами і , різниця буде мати значення різних знаків. Тому в цій точці екстремуму бути не може. Отже, якщо , то в досліджуваній стаціонарній точці функція має екстремум, а саме, власний максимум при <0 і власний мінімум при . Якщо ж <0, то екстремуму немає.У випадку =0 для дослідження потрібно використовувати похідні вищих порядків.