1.8. Вынужденные механические колебания. Резонанс

Под вынужденными понимаются колебания, происходящие под воздействием внешнего периодически изменяющегося фактора. Если таким фактором является сила, то возникают механические вынужденные колебания, если напряжение или Э.Д.С. - электромагнитные и так далее.

Здесь мы будем рассматривать только механические вынужденные колебания, происходящие под воздействием внешней периодически изменяющейся по гармоническому закону силы:

,

где F₀ – амплитудное значение силы, ω – циклическая частота, с которой она изменяется с течением времени t.

При этом в колеблющейся системе через некоторый промежуток времени Δt, называемый временем установления колебаний (рисунок 10), происходят гармонические колебания с частотой ω периодически изменяющегося фактора (в нашем случае – силы) с отставанием по фазе на φ.

Рисунок 10

В дальнейшем мы будем рассматривать только установившиеся механические вынужденные колебания. Уравнение этих колебаний имеет следующий вид:

,

где х - смещение, А - амплитуда вынужденных колебаний, t- время.

В последнем уравнении величину можно найти из условия

,

где ω₀ - собственная циклическая частота колебаний системы, β- коэффициент затухания, рассчитываемый по формуле:

,

в которой r - коэффициент сопротивления, m - масса колеблющейся системы (например, тела или материальной точки).

Амплитуда механических вынужденных колебаний:

.

В этой формуле

Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса, под которым понимается резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при стремлении частоты изменения внешнего периодически изменяющегося фактора, например, силы, к частоте собственных колебаний системы (рисунок 11).

Циклическая частота внешнего вынуждающего фактора, отвечающая максимальной амплитуде, называется резонансной:

,

а амплитуда, отвечающая резонансной частоте - резонансной амплитудой:

.

ω_р1< ω_р2, β₁>β₂

Рисунок 11

Так как

то

.

Следовательно, рост коэффициента затухания β приводит к уменьшению резонансной амплитуды.

1.9. Механические волны. Уравнение плоской волны

Процесс распространения колебаний в упругой среде называется механической волной.

Здесь мы будем рассматривать, в основном, только плоские механические волны, распространяющиеся в однородной упругой среде в положительном направлении оси х.

Уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси х:

,

где - смещение материальных точек среды с координатой х в момент времени t; А – амплитуда волны; ω – циклическая частота; υ – фазовая скорость; φ₀ – начальная фаза, которая определяется выбором начала отсчета величин х и t.

Волновое движение характеризуется длиной волны λ и волновым числом k.

Длина волны λ – это расстояние, которое проходит волновой фронт за время, равное периоду колебаний Т материальных точек среды, в которой распространяется волна:

С помощью волнового числа

уравнение плоской волны преобразуется к следующему виду:

.

График гармонической волны, распространяющейся вдоль оси х, представлен на рисунке 12.

Рисунок 12