ГЛАВА І

§ 1. Преобразование координат. Условное обозначение

суммы. Совокупность п независимых переменных х\ где і принимает значения от 1 до п, можно рассматри­вать как систему координат в я-мерном пространстве У_п в том смысле, что каждая система значений этих пере­менных определяет точку в пространстве У_п. Будем предполагать координаты вещественными, если не будет оговорено противное.

Пусть задана система п независимых вещественных функций <р' переменных х¹, х” ... х^{п 1}). Для того чтобы эти функции были независимы, необходимо и доста­точно, чтобы якобиан, составленный для этих функций, не был тождественно равен нулю ²).

Таким образом.

Если положить

х'¹' = ?'■ (х¹ х”) (і --1, ..., п), (1.2)

то совокупность переменных х'' представляет собой дру­гую систему координат в пространстве; если в правые части равенств (1.2) подставить координаты х' какой-

нибудь точки Р, то эти равенства определят коорди­наты х'' той же точки Р (в новой системе координат). Таким образом, равенства (1.2) определяют преобразова­ние координат в пространстве У_п. В силу условия (1.1) переменные х‘ могут быть выражены через х'' и, следо­вательно,

х' = й'(х'\ ..., х'^п) (1 = 1,...,«). (1.3)

Приняв во внимание, что все х суть функции от х', получим, используя правила дифференцирования,

Но так как все х независимы, то левая часть равна нулю, если кФ}, и равна единице, если к = ]. Запи­шем это в виде

Символ £у носиг название символа Кронекера (кро- некероеа дельта) и будет часто употребляться в этой книге.

Аналогичным образом получим:

1, ...,п

Если в равенстве (1.4) фиксировать значение к. а индексу/ придавать значения от 1 до л, то получим п линейных

Решая

уравнении относительно (для / = 1,

уравнения относительно этих производных, полу

элемента

В точке Р пространства некоторое направление определяется дифференциалами dx^1-, это же направление определяется в другой системе координат х'¹ дифференциалами dxⁿ, которые определяются, согласно равенству, следующими формулами:

Введем теперь условие, которого мы будем придерживаться на протяжении всей книги, а именно: если один и тот же индекс входит дважды в какой-нибудь член: один раз как верхний индекс, а другой раз как нижний, то мы будем считать, что это индекс суммирования, т. е. что этому индексу следует придать все значения от 1 до л и полученные п членов сложить;таким образом, вместо суммы п членов мы будем писать только один член. Так, например, равенство (1.8) запишется в виде

Так как в правую часть равенства индекс / входит деэжды, а индекс i только один раз, то в силу принятого условия правая часть этого равенства заменяет сумму

A_Y'i ftx** fS

~dx^l + °-^dx~+...+~dxⁿ.

dx^{1 1} dx^{2 1} dxⁿ

Если один и тот же индекс входит дважды и по этому индексу производится суммирование, мы будем его называть немым индексом, или фиктивным индексом (dummyindex), поскольку выбор буквы, обозначающей этот ин- декс, не играет никакой роли. Однако буква, уже входящая в качестве нефиктивного индекса, не может быть принята за обозначение фиктивного индекса. Так, напв равенстве (1.9) фиктивный индекс / немож<менен индексом 1, но правую часть равенства