1. Если |Л{ — данное вектс^ное поле, а векторное поле А⁸ удо­влетворяет условию Л^; = 0, то это векторное поле А* линейно выражается через п — I независимых векторных полей )-_а где з=1, п—1. (векторы А_в |* независимы, если ранг матрицы I А_?|^г"| равен п— 1).

2. Пусть в линейном преобразовании вида х'' — а)х³, где вели-

^ I

чины а — постоянные и определитель а — | «у | =£0, координаты хих' представляют компоненты контравариантного векторного поля в двух координатных системах. Если <\ы положим и'.х^г' =и-х*, то получим индуцированное преобразование переменных и в пере­менные и', определяемое равенствами и[ = А\игде А\ — приве­денный минор элемента а*■ в определителе а. Показать, что сис­темы Щ и — компоненты коваригнтного вектора в системах х' и х, связанных с данным преобразованием.

§ 4. Тензоры. Симметрические и кососимметрические тензоры. Пусть л', |л-' — компоненты двух контравариант- ных векторов, а — компоненты двух ковариантных векторов. Если положить

а'/ = /.«у, а_и = 1^, а} = }.'£, (4.1)

и обозначить через а^ч>, а'ц и а') эти же функции от компонент X'¹, ц.'¹, 7],- в системе координат х'\ то из равенств вида (2.1) и (3.2) следует, что

Всякий раз, когда у нас будут две системы функций в двух координатных системах, удовлетворяющие соотно­шениям этого вида, мы будем говорить, что а^к1 — кіРдпо ненты контравариантного тензора второй валі а_1;і — компоненты ковариантного тензора лентности;

а^к- -компоненты смешанного тензора в, ности. Следует заметить, что не всяки/⁴

из этих типов необходимо получается из йекторов так, как это определяется формулами (4.1).

Из нашего определения следует, что система п² вели­чин может быть принята в качестве компонент тензора второй валентности одного из указанных видов, если компоненты этого тензора в другой координатной си­стеме определить условиями (4.2), (4.3) или (4.4) (в зави­симости от этого тензор будет контравариантный, кова- риантный или смешанный).

В качестве примера рассмотрим величины о* = 5*. где 8* —симеол Кронекера, определенный формулами (1.5).

Из условия (4.4) получаем:

Таким образом:

Если символы Кронекера принять в качестве ком­понент смешанного тензора второй валентности в неко­торой координатной системе, то они же будут компо­нентами этого тензора в любой другой координатной системе.

Тензоры любой валентности определяются с помощью равенств, обобщающих равенства (4.2), (4.3), (4.4). Так, равенство

определяет контравариантный тензор т-й валентности, равенство

дх*¹ дх^^т 'дх⁷¹'" дх

— ковариантный тензор т-и валентности и равенство

,_{г г} дх'^Гт дх п ^г 1 • - • ^гтп ₌ А 1 ■ ‘ ^п • ‘ • ■ •

Рі...Рд ІІ-.-Ід _дхП _йх5ш Ох'Рі

~смешанный тензор валентности m-\-q, т, равариантный и д раз ковариантный'¹').

¹ Так же, как это было сделано в § 2, мои’ из этих определений вытекают групповые свой

Объясняя эти определения, сделаем следующие замечания и выводы:

1. Верхний индекс указывает контравариантный характер, нижний индекс—ковариантный.

2. Всякая система функций, если их имеется достаточное количество, может быть принята в качестве компонент тензора какого-нибудь типа и валентности в данной координатной системе, если компоненты этого же тензора в другой координатной системе определить формулами (4.5), (4.6) или (4.7).

3. Контравариантный вектор есть контравариантный тензор первой валентности; ковариантный вектор есть ковариантный тензор первой валентности.

4. Всякий инвариант есть тензор нулевой валентности. Последний термин даже более принят, чем термин инвариант, в силу указанной выше неопределенности термина инвариант.

5. Из формул (4.5), (4.6) и (4.7) следует, что если компоненты какого-нибудь тензора в одной координатной системе равны нулю в какой-нибудь точке, то в этой же точке они равны нулю в любой другой координатной системе; если же компоненты в какой-нибудь координатной системе тождественно равны нулю, то они тождественно равны нулю и во всякой другой координатной системе.

Строение равенств (4.5), (4.6) и (4.7) показывает, что порядок индексов, входящих в координаты тензора, играет существенную роль. Допустим теперь, что зна- чение компонент а какого-нибудь ко- или контравариант- ного тензора не меняется от перестановки двух или нескольких индексов, тогда из равенств (4,5) —(4.7) следует, что перестановка соответствующих индексов у компонент а' также не меняет их значений. Если, например, принять, что для компонент а, входящих

в равенства (4.5) = а⁸***---*™ ₁ то,

дх'^Г1дх'^Г2 дх^Гт

Если компоненты какого-нибудь ко- или контравариантного тензора не меняются от перестановки двух или нескольких индексов, тензор называется симметрическим относительно этих индексов. Если тензор симметричен относительно любых двух индексов, то он называется просто симметрическим.

Тензор второй валентности в общем случае имеет п⁸ компонент, в то время как симметрический тензор 2-й валентности имеет только п(п +1 )/2 различных компонент. Аналогичные формулы для числа различных компонент можно получить для симметрических тензоров более высоких валентностей и для тензоров симметрических относительно нескольких индексов.

Если при перестановке двух каких-либо индексов компоненты ко- или контравариантного тензора меняют только знак, то тензор называется кососимметрическим относительно этих двух индексов. Если изменение любых двух индексов у компоненты ко- или контравариантного тензора влечет за собой только изменение знака этой компоненты, тензор называется просто кососимметрическим. Можно, подобно предыдущему, показать, что тензор, кососимметрический в одной системе координат, будет кососимметркческим в любой другой системе.

Если а,7 — компоненты кососимметрического тензора, то а и = 0 и существует только п (п— 1)/2 различных компонент. Точно также, если а_Г1.. ._г„ — кососимметрический тензор в «-мерном пространстве, то одни компоненты равны нулю, а остальные отличаются друг от друга только знаком. В четырехмерном пространстве существует шесть различных компонент кососимметрического тензора а,/.

§ 5. Сложение, вычитание и умножение тензоров. Свер- тывание. Строение равенств (4.5), (4.6) и (4.7) показывает, что сумма или разность дву и того же типа и валентности предстже типа и той же валентности. То и любой линейной комбинации тенз

рианты. В качестве примера рассмотрим какой-нибудь тензор о,/. Если мы запишем, что

0ц = у (о«7 + Он) + у {0ц -ап), (⁵-¹)

то первый член правой части представляет симметриче­ский тензор, а второй член — кососимл етрический тензор. Таким образом каждый ковариантный (или контра- вариантный) тензор второй валентности может быть представлен в виде суммы симметрического и кососим­метрического тензоров.

Указанный формулой (4.1), способ получения новых тензоров из заданных может быть расширен. Так, если оц и Ь^т —компоненты двух тензоров в системе коор­динат х\ то

— _а..[)гн (5.2)

11. дх* дх^&дхг дх^ё дх^г

и, следовательно, совокупность величин ацЬ^ш опреде­ляет тензор пятой валентности дважды ковариантный и трижды контравариантный. Этот способ имеет, как легко убедиться, общий характер: перемножая компо­ненты нескольких заданных тензоров, мы получаем тензор; его называют произведением данных тензоров. Валентность тензора произведения ко- и контравариант- ная равна сумме соответствующих валентностей сомно­жителей. Иногда такой тензор называют внешним про­изведением.

С помощью смешанного тензора а^₍ можно составить выражение т. е. сумму л компонент этого тензора. Покажем, что это выражение является компонентой тензора третьей валентности. Действительно

т. е., согласно формуле (4.7), а*Л представляет тензор дважды ковариантный и один раз контравариантный. Указанный процесс, с помощью которого из тензора г-й валентности получается тензор валентности г —2, называется свертыванием. Существенно отметить, что при выполнении свертывания используется один верх­ний и один нижний индекс ^г).

В частности, применяя операцию свертывания к тензору а\. получим инвариант а\. В § 4 было пока­зано, что символы Кронекера определяют компоненты смешанного тензора; свертывание этого тензора дает сумму п членов, каждый из которых равен единице, и таким образом инвариант Ц равен п.

Процесс СЕертывания можно повторить, так что в рассмотренном вьнье тензоре можно осуществить еще одно свертывание и прийти к вектору одного из сле­дующих видов: а\1_г а¹^, а'_г'...

Комбинируя операции умножения и свертывания, мы можем получить из заданных тензоров новые. Так, из тензоров а,-/ и Ь^г*¹ можно получить тензор третьей валентности, ацЬ’°¹ или а^Ь^м. а также вектор ацЬ Такой комбинированный процесс некоторые авторы назы­вают внутренним умножением. Заметим, что этой опе­рацией мы уже пользовались при получении форму­лы (3.4).

Пусть аЦ_1т~система функций от х¹ и система

функций от х'¹, таких, что а^_тк¹ и суть компо­ненты одного и того же тензора при произвольном векторе У. Тогда, принимая во внимание формулы (4.7) и (2.2), получим:

Так как это равенство имеет место для любого векто­ра Х'*, то

и, следовательно, а^_1т и а'^_д суть компоненты сме­шанного тензора пятой валентности. Наше доказатель­ство может быть проведено для случая свертывания по любому нижнему индексу, входящему в функции а с произвольным контравариантным вектором X^і; анало­гичный результат можно получить и для свертывания с произвольным ковариантным вектором. Так как приве­денное доказательство не связано с числом индексов, входящих в функции а, то можно высказать следующую теорему, для которой теорема § 3 является частным случаем.

Если задана система функций арй'.'.р™ от координат X^і и система функций от координат х^п и если

ар\.'.\р^п_г--р_д ^{кР> 11} >-'*¹ суть компоненты тензора

в системах х и х' соответственно, где X¹“¹ и ком­

поненты произвольного вектора в этих же системах координат, то заданные функции суть компоненты тензора, валентность которого на единицу выше. Ана­логичная теорема имеет место и в том случае, если вместо X^і взять тензор произвольной валентности и про­извести свертывание по одному из индексов.

§ 6. Взаимно обратные тензоры второй валентности. Опускание и поднимание индексов. Пусть —компо­ненты симметрического ковариантного тензора второй валентности, так что = g^₁■. Определитель составлен ный из элементов цц, обозначим через g, так чт

Тензорный анализ

25

Если через g^i} обозначить алгебраическое дополнение ¹) элемента gif, разделенное на g, то, очевидно, что

где 8* принимает значения, указанные формулой (1.5). Это непосредственно следует из определения g^i}'; если i Ф к, то леЕая часть равенства (6.2) представляет собой сумму произведений элементов одной строки (или колонны) определителя (6.1) на алгебраические дополнения элементов другой строки (или колонны), деленную на g; если же i — к, то эта сумма равна g/g.

Пусть далее V— компоненты произвольного вектора, тогда суммы g,//.' представляют также компоненты век­тора, скажем, ц,-. С помощью равенства (6.2) получаем

Так как могут принимать произвольные значения, то в силу последней теоремы § 5 получаем:

Если g — определитель симметрического ковариантного тензора g_ij, то алгебраические дополнения элементов g_if, деленные на значение определителя g, обозначен­ные gⁱⁱ, представляют компоненты симметрического контравариантного тензора.

Ясно, что подобным же образом, если g^{i^} — компо­ненты контравариантного тензора, то алгебраические дополнения элементов £1, разделенные на значение определителя, представляют компоненты симметриче­ского ковариантного тензора второй валентности. В каж­дом из этих случаев мы будем говорить, что получен­ный таким путем тензор является обратным по отно­шению к данному. Как следствие полученного результата получим, приняв во внимание (6.2), что компоненты смешанного тензора (как это было установлено в § 4).

Если в равенстве (6.2) положить к ■■ по г, то получим п слагаемых, ка равно единице. Таким образом, испо.

¹) Курош А. Г., 1946, 1, стр. 63.

(6.2)

Ви ■ • • Еш				100 ... 0
			=	010... 0	= 1
Вт • ■ • Ві.п		Г • ■ • в^пп		00 ... 1

Это дает возможность утверждать, что в силу (6.2) g_[-^■ есть алгебраическое дополнение элемента g^{^,} в опре­делителе g, деленное на определитель о.

С помощью симметрического тензора Цц и обратного ему тензора £1 можно получить, пользуясьметодами, изло­женными в § 5, из данного тензора тензоры той же валент­ности, но различных типов. Так, если а,-у* — компоненты тензора, то можно получить следующие тензоры:

= £%■*; а/к = аи=ё^1кацк] а^1тк=%^и%^т,ачк\ о7^п=^"^,А'°;м; а^1тр==§'^,'§^тУ§^р*^а'7*- (6-5)

Аналогичным образом из тензора с компонентами Ь^ак получим тензоры

^Ь1^1к = %цЬ^т\ Ь_1т^к = Е₁д_т{Ь^,,к; Ь_1тр = g_Iig_m/•gp*&^,'^{^,}^ (6.6)

Мы будем говорить, что эти тензоры связаны с данным тен­зором с помощью g_I-_^•. Точно так же можно найти тен­зоры, связанные с заданным тензором смешанного типа. Указанный процесс мы будем называть опусканием индексов с помощью g₁■_;• или поднятием индексов с помощью g^,5. Тензор а^г,-_к (см. равенства (6.5)) можно было бы записать в виде й//_с, но мы предпочтем обозначение^/* в котором указано, который именно индекс тензо поднят или опущен. Заметим, что этот проце.

Так, умножая первое из равенств (6.5) мируя по I, получим

2/ п А г к ~ Ё1т£ @и'к ⁼ ~

Тензорный анализ

27

что приводит снова к тому тензору, из которого был получен тензор а¹,-,.

УПГАЖНЕНИЯ

к

1. Если выражение вида — инвариант при произволь- ных векторах А₍., |л₍ и к¹, то а^1У — компоненты тензора.

2. Если а_;;Я'л-’ — инвариант при произвольном векторе А', то суммы а_{1- + а_{-. — компоненты тензора; если, в частности, а_п#Л³ = 0, то а_а + а_]{ = 0.

3. Если о. йх* йх^ йх^к = 0 при произвольных значениях дифференциалов, то

^й ил + ^аі.л + ^аш + ^аікі + На + ^аНк = °-

4. Если а.^Ч³ — 0 для всех векторов А*, таких, что А^г’[іі = 0, где — данный ковариантный вектор, и если — вектор, опре- деляемый равенсївом а. А_аЧ-^, = 0 при з=1 п— 1, а ц^'^О,

и если ввести обозначения

а.;ч' = и_і, V^і и. = ’:, і; і ^гі

то соотношение (а^- ц₍.Су) удовлетворяется для любого

векторного поля Є' (ср. упр. 4, стр. 18) и, следовательно,

(Бсііоиіеп, 1924, 1, стр. 59)

5. Если а_гв — компоненты тензора, а Ь и с — инварианты несли Ьз_Гя + са_ег = 0, то либо Ь= — с и а„ — симметрический тензор или Ь — с и а_гл — кососимметрический тензор.

6. Пусть — система функций от X^і (/ = 1 п), такая.

что определитель ¹ | = 0, и пусть А' — система функций, опре- деляемая уравнениями Ь._;-№ — 0; если, далее, Ь_і] и А¹'— ком- поненты тензора и вектора в системе координат х, то в соответ- ствии с теоремой § 2 можно так выбрать систему координат х^,г, чтобы = 0 (/=1 п).

7. Рангом тензора о_;;- второй валентности называют ранг

матрицы І.а^Ц. Показать, что ранг тензора есть инвариант,

при лю5ом преобразовании координат.

8. Показать, что ранг тензора, компоненты кот

^а_іЬ_]-, где а. и й_у- — компоненты двух векторов,

Показать также, что ранг симметрического те

равен 2.