28

Глава I

§ 7. Трехиндексные символы Кристоффеля и зави­симость между ними. Рассмотрим симметрический кова- риантный тензор второй валентности £,_;- и обратный ему тензор ^ и определим два выражения, введенные Кри- стоффелем, которыми мы часто будем пользоваться, именно:

{ '_/}=8^1л[«7ДП (7.2)

Заметим, что из определения симеолов [г/, А:] и | | вытекает, что они оба симметричны относи­тельно индексов г и /. Симеолы, определенные равен­ствами (7.1) и (7.2), называются символами Кристоф­феля первого и второго рода соответственно. Из ра­венств (7.2) и (6.2) получаем:

{ <7 } ^{= [г/>} ^^{= £}* ^[//' ^к1 ^{= (7-3)}

Равенство (7.1) дает

*]+[&/,;]■ (7.4)

Дифференцируя равенства (6.2) по х¹, получим а^дёч , ^дв”' п

^? 77 ^{+ е}**м=⁰'

Умножив теперь на %^кт и суммируя по к. найдем

Р.5)

Подставив в правую часть равенства выражение из фор­мулы (7.4) и принимая во внимание определение

¹) Эти символы записывали в виде

предпочли приведенную форму записи, посколы вается с условным обозначением сулТмы. См 1869, 1, стр. 49.

Тензорный анализ

29

получим:

Дифференцирование равенства (6.3) дает

f^+e,i^ = 0. (7.7)

Применяя правило дифференцирования определителя и используя определение g^IJf, найдем, что

(7-⁸>

последнее выражение—следствие формулы (7.7). Под- ставляя в равенство (7.8) выражения из (7.4) или (7.6), найдем, что _

a log Vg

дх¹

{,!}, (7.9)

где в правой части предполагается суммирование по і.

Символы Кристоффеля первого и второго рода не являются компонентами тензора, как это видно из следующих соображений. Если и ^/ — компоненты данного тензора в системах координат х¹ и х'* соответ­ственно, то из равенства (4.3) следует, что

/ ЙХ* /Н |

^ ^— дх^дх^ ■ ■

Дифференцируя это равенство по х'°, получим:

₌ дх³ .

дх'° дх^к дх'^а дх'¹¹ дх'~*

/ дх¹ , дхі а²х‘ ,_7П.

⁺ &^,\дх»дх'^Ідх^в дх'^ідхЧх^вУ'

Поменяем местами в этом равенстве всюду индексы р и о, а в первом члене правой части поменяем местам фиктивные индексы і и к; получим:

дйоч дх^к дх‘ дх-* ,

дх* аТ⁷ дх“ дх*

, Ґ дх‘ д²х* дх* д²х

чах’³дх'^дх* дх"* дх