КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Методичні вказівки

до виконання контрольних і семестрових завдань з курсу

«Ряди»

( для студентів технічних спеціальностей другого курсу

денної та заочної форм навчання)

Рекомендовано

на засіданні

кафедри вищої математики

Протокол № 6 від 15.05.2008

Затверджено

Методичною радою ДонДТУ

Протокол № 6 від 16.05. 2008

Алчевськ

ДонДТУ

2008

УДК. 519.

Методичні вказівки до виконання контрольних і семестрових завдань з курсу “Ряди” (для студентів технічних спеціальностей другого курсу денної та заочної форм навчання) /Укл.:Л.О. Маслова, О.А. Сухініна. - Алчевськ: ДонДТУ, 2008. -73 с.

Призначені для самостійної підготовки студентів до практичних зайняти та контрольних робіт. Сприяють засвоєнню матеріалу при вивченні тими “Ряди”.

Укладачі: Л. О. Маслова, доц.

О.А. Сухініна, асист.

Відповідальний за випуск Т. В. Павленко, доц.

Відповідальний редактор Т. В. Павленко, доц

1. Числові ряди. Основні поняття.

Визначення 1. Нехай , , .... ,.... - нескінченна послідовність чисел. Вираз

+ + + …… + …...= (1.1)

називається числовим рядом, а елементи послідовності , ,…... - членами ряду.

Ряд вважається заданим, якщо відомо загальний член як функцію свого номера. Часто ряд задається у вигляді суми декількох перших членів. У такому випадку треба визначити закономірність, за якою записані перші члени ряду, і записати .

Приклади.

1. Для ряду загальний член .

2. Для ряду загальний член .

3. Для ряду загальний член .

Визначення 2. Сума n перших членів ряду (1.1)

називається n-ою частковою сумою ряду.

Визначення 3. Ряд (1.1) називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум має кінцеву границю

Значення називається сумою ряду (1.1).

Визначення 3. Ряд (1.1) називається розбіжним, якщо послідовність його часткових сум не має границі (зокрема, якщо необмежено зростає по модулю).

Зміст теорії числових рядів складається у встановленні збіжності або розбіжності ряду і в обчисленні сум збіжних числових рядів.

Властивості числових рядів.

Теорема 1.1. Якщо сходиться даний ряд, то сходиться й ряд, отриманий з даного відкиданням кінцевого числа членів.

Теорема 1.2. Якщо ряд сходиться і його сума дорівнює , то ряд (де с – постійне число) теж сходиться і його сума дорівнює .

Теорема 1.3. Якщо ряди і сходяться і їхні суми відповідно дорівнюють та , тоді ряди

та

теж сходяться і їхні суми відповідно дорівнюють і .

Для визначення збіжності або розбіжності числового ряду вивчаються ознаки, по яких можна встановити збіжність або розбіжність даного ряду, і сума збіжного ряду підраховується приблизно з потрібним ступенем точності.

2. Ознаки збіжності знакододатніх числових рядів.

Розглянемо числові ряди з додатніми членами.