4. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень

   1. Обчислення значень функції

Розклад функції в ряди Маклорена дозволяють у багатьох випадках з великою точністю обчислити значення цих функцій.

Якщо в результаті розкладу одержуємо знакопостійний ряд, то погрішність оцінюється за допомогою залишкового члена формули Тейлора, тобто

(6.1)

де с між 0 та .

Якщо при обчисленні значення функції або інтеграла приходимо до знакочередуючегося ряду, то погрішність такого обчислення не перевершує першого члена ряду, який відкидається (теорема Лейбница).

Приклад1. Обчислити з точністю до 0,0001 значення

Рішення.

Скористаємося формулою

= ,

Маємо =

Для оцінки погрішності обчислення скористаємося формулою (6.1)

(0<c<0,1)

Приклад2. Обчислити з точністю до 0,0001 значення

Рішення.

Поданий вираз запишемо у вигляді:

Скористаємося формулою

При маємо:

(6.2)

Тоді

Тому що ряд знакочередуючийся, то за теоремою Лейбниця маємо, що сума відкинутої частини ряду не перевершує першого відкинутого члена, тобто погрішність обчислення

Приклад3. Обчислити з точністю до 0,0001

Розв’язання

Скористаємося формулою

=

Тоді

Тому що ряд знакочередуючийся, залишковий член менше першого відкинутого члена ряду, тобто

2. Наближене обчислення визначених інтегралів

Багато визначених інтегралів, потрібних на практиці, не можуть бути обчислені за допомогою формули Ньютона-Лейбница, тому що часто первісна підінтегральної функції не виражається в елементарних функціях. Якщо функція, яка стоїть під знаком інтегралу, розкладається в степеневий ряд і границі інтегрування належать інтервалу збіжності ряду, то визначений інтеграл може бути обчислений з наперед заданою точністю.

Приклад4. Обчислити з точністю до 0,0001

Розв’язання.

Розклад підінтегральної функції в степеневий ряд має вигляд:

=

Ця рівність вірна при будь-яких . Інтегруючи цей ряд почленно, одержимо:

Погрішність обчислення

3. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів.

За допомогою розкладу функцій у степеневі ряди можна приблизно інтегрувати диференціальні рівняння. Нехай потрібно знайти рішення диференціального рівняння другого порядку

, (6.3)

задовольняючого початковим умовам , .

Розв’язання рівняння знаходимо у вигляді ряду Тейлора:

Потрібно знайти , , , …...Це можна зробити за допомогою початкових умов і рівняння (6.3). З початкових умов витікає, що , .

З рівняння (6.3) одержуємо:

Продиферецюємо (6.3) за правилом диференціювання складної функції декількох змінних. Одержимо:

(6.4)

Підставимо в (6.4) початкові умови та одержимо . Диференціюючи (6.4) і підставляючи початкові умови, одержимо . Процес цей або обривається на заданому коефіцієнті, або завершується знаходженням загального закону побудови коефіцієнтів у розкладі. Для тих значень , для яких цей ряд збігається, він представляє рішення рівняння.

Приклад5. Знайти три члени розкладу в ряд Маклорена функції, що є рішенням рівняння

, (6.5)

який задовольняє початковим умовам: , .

Розв’язання.

Тому що початкові умови задані в точці =0, то рішення будемо шукати у вигляді ряду Маклорена:

Використовуючи початкові умови, з рівняння (6.5) знайдемо

Продиференцюємо (6.5) і підставимо початкові умови.

,

,

Підставляючи значення похідних у ряд Маклорена, одержимо декілька перших членів розкладу функції , що є частковим рішенням рівняння (6.5)

Приклад6. Знайти три члени розкладу в ряд Маклорена функції, яка є розв’язком рівняння

, (6.6)

який задовольняє початковим умовам:

Розв’язання.

Тому що початкові умови задані в точці =0, то рішення будемо шукати у вигляді ряду Маклорена:

Використовуючи початкові умови, з рівняння (6.6) знайдемо

Продиференцюємо (6.6) і підставимо початкові умови.

Тоді рішення має вигляд