20

Федеральное агентство по образованию

Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П. А. Соловьева

Кафедра «Вычислительные системы»

В. М. Комаров

Расчет линейных электрических цепей

постоянного тока

Лабораторная работа по дисциплине

«Основы электротехники и электроники»

Рыбинск 2008

Введение

Линейные электрические цепи постоянного тока составляют значительную часть многих электротехнических и радиоэлектронных устройств, проектирование которых тесно связано с анализом этих цепей, опирающимся на их свойства и различные методы расчета.

Цель работы

Целью настоящей работы является изучение свойств и основных методов расчета электрических цепей постоянного тока:

– метода расчета на основании законов Кирхгофа;

– метода узловых потенциалов;

– метода контурных токов;

– линейных соотношений в электрических цепях.

1. Краткие теоретические сведения

1.1. Электрическая цепь, ее схема и граф

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, которые она содержит, и способом их соединения. Линейная электрическая цепь состоит из линейных элементов, свойства которых не зависят от величины и направления воздействующих на них токов и напряжений, температуры и т. п. Напряжение и ток в любом линейном элементе связаны линейным алгебраическим или дифференциальным уравнением первого порядка. Основными линейными элементами электрических цепей являются источник э.д.с., источник тока, сопротивление, индуктивность и емкость.

Для упрощения расчетов реальные элементы электрических цепей заменяются их идеализированными моделями, которым приписываются свойства, позволяющие с достаточной степенью точности представлять процесс, происходящий в реальном элементе. Каждому идеализированному элементу электрической цепи соответствует условное графическое обозначение (рис. 1).

Графическое изображение электрической цепи с помощью условных графических обозначений ее элементов называется электрической схемой этой цепи. Электрические цепи постоянного тока, как правило, состоят из идеальных источников э.д.с. и сопротивлений. На рис. 2, в качестве примера, приведены электрические схемы некоторых цепей.

а) б) в) г) д)

Р ис. 1. Основные элементы линейных электрических цепей а) идеальный источник э.д.с.; б) идеальный источник тока; в) сопротивление; г) индуктивность; д) емкость

Рис. 2. Электрические схемы цепей постоянного тока

Участок схемы, характеризующийся одним и тем же током в его начале и конце в любой момент времени, называется ветвью электрической схемы. Следовательно, любая ветвь содержит только последовательное соединение элементов. Например, ветвями являются участки цепей, состоящие из элементов e₁,R₁; e₂,R₂; R₃; R₄; R₅; R₆ (см. рис. 2,а), а также элементов e₁,R₁,R₇; e₂,R₂; e₃,R₃; R₄; R₅; R₆ (см. рис. 2,б).

Место соединения трех или большего числа ветвей называется узлом. На электрических схемах, приведенных на рис. 2, узлы обозначены цифрами 1, 2, 3, 4.

Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям электрической схемы, называется контуром. При расчете схемы необходимо выбирать независимые контура. Независимые контура удобно выбирать, используя понятия графа электрической схемы и его дерева.

Графом электрической схемы называется ее условное изображение, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называемой ветвью графа. На рис. 3 приведены графы вышерассмотренных электрических схем.

Совокупность ветвей графа, соединяющая все узлы, но не образующая ни одного контура, называется деревом графа. Каждый граф может иметь несколько деревьев. На рис. 4 в каждом из вышерассмотренных графов толстыми линиями выделено по одному (из нескольких возможных) дереву. Если граф содержит N_y узлов, то число ветвей любого дерева равно N_вд = N_y – 1.

Рис. 3. Графы электрических схем

Рис. 4. Дерево, ветви, связи и главные контура графов

Ветви графа, дополняющие его дерево до полного графа, называются ветвями связи. На рис. 4 ветви связи изображены тонкими линиями. Если граф схемы содержит N_в ветвей, то число ветвей связи всегда равно N_вс = N_в– (N_y – 1).

В качестве независимых контуров при расчете электрической схемы выбираются ее главные контура, состоящие из ветвей дерева и только одной ветви связи. Следовательно, число главных контуров равно числу ветвей связи. На рис. 4 главные контура выделены цифрами I, II, III, IV.

1.2. Методы расчета электрических схем

Суть расчета электрической схемы сводится к определению токов во всех ее ветвях. Все методы расчета рассмотрим на примере схемы, приведенной на рис. 5,а. Эта схема имеет 3 узла и 5 ветвей.

e₃

а) б)

в) г)

Рис. 5. Расчет электрических схем а) на основании законов Кирхгофа; б) выбор независимых контуров; в) метод узловых потенциалов; г) метод контурных токов

1.2.1. Расчет схемы на основании законов Кирхгофа

Законы Кирхгофа устанавливают соотношение между токами и напряжениями в электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю

где m – общее количество ветвей, подключенных к данному узлу.

Общее количество уравнений, которое может быть составлено по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов N_y схемы. Однако из них только N₁ = N_y – 1 уравнений будут независимы, т. к. любой ток, протекающий между узлами, входит в уравнения обоих узлов. Поэтому при расчете электрической схемы по первому закону Кирхгофа составляется только N₁ уравнений для любых узлов.

Для составления этих уравнений необходимо произвольным образом выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на чертеже. При этом токи, направленные к рассматриваемому узлу считаются положительными, а от узла – отрицательными.

Отсюда, для рассматриваемой схемы (см. рис. 5,а) количество уравнений, составляемое по первому закону Кирхгофа, равно N₁ = 3 – 1 = 2 и они имеют вид:

(узел 1)

(узел 2)

Этих уравнений недостаточно для расчета схемы. Недостающие уравнения составляются на основании второго закона Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма э.д.с. в любом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура

где l – общее количество источников э.д.с. в контуре;

t – общее количество сопротивлений в контуре.

Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо с помощью дерева графа схемы выбрать главные контура и направление их обхода (рис. 5,б). При этом соблюдается следующее правило знаков для э.д.с. и падений напряжений, входящих в ( ): э.д.с. и падения напряжения, совпадающие по направлению с направлением обхода, считаются положительными, а противоположно направленные – отрицательными. Общее количество независимых уравнений, записываемое по второму закону Кирхгофа, равно количеству главных контуров и составляет N₂ = N_в – (N_y – 1).

Отсюда, для рассматриваемой схемы (см. рис. 5,а,б) количество уравнений, составляемое по второму закону Кирхгофа, равно N₂ = 5 – (3 – 1) = 1 . Учитывая, что U_k = i_kR_k, их можно записать в виде:

(контур I)

(контур II)

(контур III).

Таким образом, по законам Кирхгофа составлены пять уравнений, полностью описывающих состояние электрической цепи. После этого расчет схемы сводится к решению системы этих уравнений и нахождению искомых токов.

Решение системы линейных уравнений можно искать методом Крамера. В этом случае

где Δ – общий определитель системы, составленной из коэффициентов при неизвестных;

Δ_k – частный определитель системы, полученный из общего определителя Δ путем замены столбца, содержащего коэффициенты при i_k, свободными членами.

Для рассматриваемой системы уравнений

Для определенности положим R₁ = 100 Ом, R₂ = 500 Ом, R₃ = 1 К, R₄ = 50 ОМ, R₅ = 300 Ом, e₁ = 2 В, e₂ =10 В, e₃ = 20 В и, пользуясь свойствами определителей, найдем, в качестве примера, значение Δ

Аналогичным образом можно найти значения остальных определителей Δ₁ = –2,05·10⁶, Δ₂ = –6,1·10⁶, Δ₃ = –5,2·10⁶, Δ₄ = 0,9·10⁶, Δ₅ = 1,15·10⁶.

Таким образом, искомые токи имеют следующие значения

Положительные значения токов i₁, i₂, i₃, полученные при расчете, означают, что их фактическое направление совпадает с направлением этих токов, принятом и расчете; отрицательные значения токов i₄ и i₅ означают, что их фактическое направление противоположно принятому при расчете направлению этих токов.

После определения токов в ветвях расчет электрической схемы можно считать практически законченным, т.к. определение потенциалов узлов, падений напряжений на сопротивлениях и рассеиваемой в них мощности в этом случае не составляет труда. Узловые потенциалы и падения напряжений на сопротивлениях могут быть определены в соответствии с законом Ома, а мощность, рассеиваемая в сопротивлениях, – по формуле .

Недостатком метода расчета электрических схем на основании законов Кирхгофа является необходимость совместного решения большого количества уравнений, т.е. громоздкость математических расчетов.