1.2.2. Расчет схемы методом узловых потенциалов

Для расчета электрической схемы этим методом необходимо потенциал одного любого узла принять равным нулю. Такое допущение не изменяет состояние схемы, т. к. ток в каждой ветви определяется не абсолютными значениями потенциалов узлов, к которым она присоединена, а их разностью потенциалов.

П осле этого для остальных n = N_y – 1 узлов составляются уравнения узловых потенциалов, записываемые в общем виде для цепей, содержащих только источники э.д.с., следующим образом

где q_ll – собственная проводимость узла l[1, n], равная сумме проводимостей всех ветвей, подключенных к этому узлу;

q_lp – общая проводимость узлов l и p , равная сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих эти узлы;

φ_l – узловой потенциал узла l ;

e_lj – j-ая э.д.с., находящаяся в ветви, подключенной к узлу l ;

q_lj – проводимость ветви с источником э.д.с. e_lj , подключенной к узлу l;

m_l – общее количество ветвей с источниками э.д. с., подключенных к узлу l .

При составлении этих уравнений слагаемые в их правой части берут положительными, если соответствующие э.д.с. направлены к рассматриваемому узлу, и отрицательными, если эти э.д.с. направлены от узла.

Путем совместного решения этих уравнений определяются значения потенциалов φ_l(l[1,n]) всех узлов.

Для определения токов в ветвях произвольным образом выбираются их направления. После этого их значения рассчитываются по закону Ома в соответствии с формулой

где i_lp – ток в ветви l_p , текущий от узла l к узлу p ;

φ_lφ_p – потенциалы узлов l и p соответственно;

∑e_lp – сумма э.д.с., находящихся в ветви lp ;

q_lp – проводимость ветви lp.

Слагаемые в ∑e_lp берутся положительными, если направление э.д.с. совпадает с выбранным направление тока, и отрицательными – в противном случае.

В рассматриваемой схеме N_y = 3 (см. рис. 5,а) и количество узловых уравнений равно n = N_y – 1 = 3 – 1 = 2. Для расчета схемы потенциал узла 3 примем равным нулю (рис. 5,в) и составим уравнения узловых потенциалов для узлов 1 и 2

q₁₁φ₁ – q₁₂φ₂ = e₁q₁, (узел 1)

–q₂₁φ₁ + q₂₂φ₂ = –e₂q₂ + e₃q₃, (узел 2)

где

Подставляя числовые значения коэффициентов и э.д.с. в уравнения узловых потенциалов, получим

Решая систему двух уравнений относительно неизвестных φ₁ и φ₂, можно получить

Таким образом, потенциал узла 1 равен , а узла 2 –

В ыберем направления токов в ветвях (см. рис. 5,в) и вычислим их значения

Смысл знаков токов аналогичен выше рассмотренному (см. п. 1.2.1).

1.2.3 Расчет схемы методом контурных токов

Для расчета электрической схемы этим методом необходимо с помощью дерева ее графа выбрать n = N_в – (N_y – 1) независимых (главных) контуров, произвольным образом обозначить направления контурных токов I_l, полностью обтекающих выбранные контура, и составить уравнения контурных токов, записываемые в общем виде для цепей, содержащих только источники э.д.с., следующим образом

где R_ll – собственное сопротивление контура l  [1, n], равное сумме всех сопротивлений, находящихся в его ветвях;

R_lp – общее сопротивление контуров l и p , равное сумме всех сопротивлений, находящихся в ветвях, являющихся общими для контуров l и p ;

e_lj – j-э.д.с., находящаяся в ветвях контура l ;

m_l – общее количество э.д.с., находящихся во всех ветвях контура l.

При составлении этих уравнений собственные сопротивления R_ll контуров являются всегда положительными; общие сопротивления R_lp берутся положительными, если направления контурных токов I_l и I_p в них совпадают по направлению, и отрицательными – при противоположном направлении контурных токов; слагаемые в правой части уравнений берутся положительными, если соответствующие э.д.с. совпадают по направлению с контурным током, и отрицательными – в противном случае.

Путем совместного решения контурных уравнений определяются все контурные токи. После этого находятся токи в ветвях как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.

В рассматриваемой схеме N_в = 5, N_y = 3 и количество главных контуров равно n = N_в – (N_y – 1)=5 – (3 – 1) = 3 (см. рис. 5,б). Выберем направления контурных токов I₁, I₂, I₃ (рис. 5,г) и составим контурные уравнения

(контур I)

(контур II)

(контур III)

Подставляя числовые значения сопротивлений и э.д.с. (см. п. 1.2.1), получим систему уравнений

400I₁ – 300I₂ = 2

–300I₁ + 850I₂ – 500I₃ = 10

–500I₂ + 1500I₃ = – 30.

Решая эту систему уравнений, можно получить

I₁ = 0,00745; I₂ = 0,00327; I₃ = – 0,0189.

Выберем направления токов в ветвях (см. рис. 5,г) и найдем их значения

i₁ = I₁ = 0,00745 A = 7,45 mA;

i₂ = I₂ – I₃ = 0,00327 – (–0,0189) = 0,0221 A = 22,1 mA;

i₃ = –I₃ = –(–0,0189) = 0,0189 A = 18,9 mA;

i₄ = I₂ = 0,00327 A = 3,27 mA;

i₅ = I₁ – I₂ = 0,00745 – 0,00327 = 0,00418 A = 4,18 mA.

Таким образом, с помощью всех трех методов найдены токи в ветвях рассматриваемой схемы, совпадающие по величине и направлению. При этом методы узловых потенциалов и контурных токов обеспечивают более простое решение задачи по сравнению с расчетом схемы на основании законов Кирхгофа.

Выбор метода для расчета электрической схемы осуществляется в зависимости от ее вида:

– если количество ее узлов меньше числа главных контуров, то целесообразно использовать метод узловых потенциалов;

– если количество ее главных контуров меньше числа узлов, то целесообразно использовать метод контурных токов.