2 Интегрирование
Квадратурные формулы Гаусса, определение параметров квадратурных формул, используя ортогональные полиномы. Свойства, погрешность.
Квадратурные формулы Гаусса (формулы наивысшей алгебраической точности) получают из формул Ньютона-Котесса посредством оптимизации распределения узлов.
В общем случае формулы для приближенного вычисления определенного интеграла
( - весовая функция) получаются заменой подынтегральной функции интерполяционным полиномом с последующим аналитическим интегрированием для вычисления квадратурных коэффициентов
где - узлы квадратурной формулы, а коэффициенты, которые не зависят от подынтегральной функции и могут быть предварительно вычислены для каждого распределения узлов.
В формулах Ньютона-Котесса выбирается эквидистантное распределение узлов. Оценка погрешности интегрирования
Из формулы следует, что формула Ньютона-Котесса позволяет точно интегрировать полиномы степени
Для кв.формул Гаусса узлы выбираются в корнях ортогональных полиномов. Оценка погрешности
где - используемый ортогональный полином с такой нормировкой, что коэффициент при старшей степени равен 1
т.е. формула Гаусса позволяет точно интегрировать полиномы степени
Обычно
Построение рабочих кв.формул Гаусса основано
на предположении, что известно как строить формулы Ньютона-Котесса
на двух леммах
■ Если узлы квадратурной формулы, точной для всех многочленов степени , то
где , - произвольный полином, степени не выше
Соотношение можно использовать как определение ортогонального полинома. Весовая функция определяет его тип и распределение корней на
■ Пусть нули ортогонального полинома являются узлами квадратурной формулы, точной для полиномов степени (формулы Ньютона-Котесса). Тогда эта формула точна для полиномов степени
Погрешность интегрирования полиномов степени есть
(ортогональность)
(нуль полинома)
Трудность при построении кв.формул Гаусса заключается в нахождении корней ортогональных полиномов
Достоинства по сравнению с кв.ф-лами Ньютона-Котесса
Точны для полиномов , а не
Все квадратурные коэффициенты положительны
Можно вычислять несобственные интегралы
Наиболее употребительные ортогональные полиномы, используемые для построения квадратурных формул
- полиномы Лежандра
- полиномы Чебышева I и II рода
- многочлены Эрмита
3 Решение слау
Решение СЛАУ с предварительной факторизацией матрицы, используя неортогональные преобразования. Итерационное уточнение решения СЛАУ
СЛАУ
используя неортогональные ( ) неособенные ( ) матрицы, преобразуется к виду
или
где - верхнетреугольная по построению, - неособенная нижнетреугольная.
Домножая на , получаем вместо СЛАУ, в которой матрица заменена произведением двух треугольных
Процесс факторизации матрицы можно выполнить независимо от правой части.
Решение исходной СЛАУ сводится к решению двух более простых задач
- прямой ход в схеме Гаусса
- обратный ход
Для повышения устойчивости вводятся перестановки, которые
не изменяют структуру треугольных матриц
позволяют получить все элементы матриц , по модулю не превышающих 1
Факторизация с перестановками отличается от наличием матрицы перестановок
в результате чего двухшаговый процесс решения СЛАУ будет иметь вид
- прямой ход в схеме Гаусса
- обратный ход
Вычисление определителей
В силу
определитель факторизованной матрицы
Для того, чтобы избежать переполнения или исчезновение порядка
Вычисление обратной матрицы
откуда наиболее экономно
Часто при вычислении обратной матрицы используется алгоритм итерационного уточнения