Итерационное уточнение решения слау
◙ Алгоритм
Факторизовать матрицу с обычной точностью
Решить СЛАУ с обычной точностью
Вычислить для до требуемого уточнения
невязку с повышенной точностью
решить СЛАУ с обычной точностью
уточнить решение с обыч. точностью
Качественное обоснование
4 Дифференциальные уравнения Задача Коши для оду
Одношаговые методы решения задачи Коши для ОДУ. Сходимость одношаговых методов.
Одношаговые методы характеризуется тем, задача Коши на интервале
решается последовательным применением одной и той же (шаговой) процедуры на подынтервалах , причем для каждого нового подынтервала используется только одно (последнее) из ранее найденных значений.
Наиболее часто используемым одношаговым методом является метод Рунге-Кутта, основанный на построении формулы приближенного интегрирования для вычисления приращения искомой функции на одном шаге
где
Если аналогична кв.ф-ле Ньютона-Котесса, то - есть к-во узлов, и точность приближенного интегрирования должна расти при увеличении .
В отличие от стандартных кв.ф-л, в подынтегральная функция не может быть вычислена непосредственно.
Введем три набора параметров
Для построения правила интегрирования вводятся параметризованные функции
подбирают параметры так, чтобы в сумме можно было заменить
и рассматривать как квадратурную сумму
Подбор параметров выполняют так, чтобы локальная погрешность вычисления по правилу была минимальной для заданного к-ва членов суммы
т.е. чтобы выполнялось равенство
для возможно более высокого , которое называют порядком метода
Обычно такая процедура выбора приводит к недоопределенным системам уравнений и позволяет некоторые параметры задать произвольно. Таким образом получают параметрическое семейство формул одного порядка.
Простейшими формулами Р-К являются
формула Эйлера – метод первого порядка
с локальной погрешностью
метод второго порядка с параметрами определяемыми из сисстемы уравнений
Выбирая произвольно, например, получим следующее шаговое правило
Наиболее употребителны методы четвертого порядка.
Метод р-к с контролем погрешности на шаге
Способ определения априорной погрешности на шаге в виде удобен для вычисления апостериорной оценки погрешности (оценки Рунге) и уменьшению погрешности методом Ромберга
Метод двойного просчета по формуле порядка , используя шаги и
1) Выполним расчет значения в точке , используя шаг
, исходя из известного (можно считать точного) решения в
точке
2) Выполним расчет значения в точке , используя дважды шаг ,
или
разность -
откуда
и подставляя в получаем апостериорную оценку погрешности по Рунге
Если в разложении с учетом погрешность представить в виде
и учесть, что вычислено приближенное значение , то
то получим уточненное значение с поправкой по Ромбергу
вычисленое с локальной погрешностью
как если бы использовался метод на единицу по порядку выше, чем исходное правило интегрирования.