Корреляционный анализ

При изучении корреляции стараются установить, существует ли какая-то связь между двумя показателями в одной выборке (например, между ростом и весом детей). Либо между двумя различными выборками (например, при сравнении пар близнецов), и если эта связь существует, то, сопровождается ли увеличение одного показателя возрастанием (положительная корреляция) или уменьшением (отрицательная корреляция) другого.

Иными словами, корреляционный анализ помогает установить, можно предсказать возможные изменения одного показателя зная величину другого.

До сих пор при анализе результатов нашего опыта по изучению действия марихуаны мы сознательно игнорировали такой показатель как время реакции. Между тем было бы интересно проверить, существует ли связь между эффективностью реакции и их быстротой.

С этой целью можно использовать два разных способа: параметрический метод расчета коэффициента Браве Пирсона(r) и вычисление коэффициента корреляции рангов Спирмена(r_s).

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Коэффициент корреляции – это величина, которая может варьироваться в пределах от +1 до –1.в случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1 , а при полной отрицательной –1. На графике этому соответствует прямая линия, проходящая через точки пересечения значений каждой пары данных:

Переменная В

Переменная В

В случае же если эти точки не выстраиваются по прямой линии, а образуют «облако», коэффициент корреляции по абсолютной величине становится меньше единицы и по мере округления этого облака приближается к нулю:

r = 0.60 r = -0.30 r =0

В случае если коэффициент корреляции равен нулю, обе переменные полностью независимы друг от друга. В гуманитарных науках корреляция считается сильным, если ее коэффициент выше 0,60. Существуют таблицы с критическими значениями коэффициента корреляции Браве Пирсона и Спирмена для разного числа степеней свободы (оно равно числу пар за вычетом 2, т.е. r = -2). Лишь в том случае если коэффициенты корреляции больше этих критических значений, они могут считаться достоверными.

КОЭФФИЦИЕНТ БРАВЕ-ПИРСОНА

Для вычисления этого коэффициента применяют следующую формулу:

___

r = ((XY) – nXY )/ (n – 1) s_xs_y

Где  - сумма произведений данных каждой пары;

X - число пар;

Y - средняя для данной переменной ;

s_x - стандартное отклонение для распределения;

s_y - стандартное отклонение для распределения.

Теперь мы можем использовать этот коэффициент для того, чтобы установить, существует ли связь между временем реакции испытуемых и эффективностью их действий. Возьмем фоновый уровень контрольной группы.

Испытуемые	Эффективность (X)	Время реакции (Y)	XY
Д 1	19	8	152
Д 2	10	15	150
Д 3	12	13	156
	…	…	…
Ю 8	22	14	308
			XY = 3142

nXY= 15*15.8*13.4=3175.8

(n-1)s_xs_y=14*3.07*2.29=98.42

r = (3142 – 3175.8)/ 98.42=-0.34

Отрицательное значение коэффициента корреляции может означать, что чем больше время реакции, тем ниже эффективность. Однако величина его слишком мала, чтобы можно было говорить о достоверной связи между двумя этими переменными.

Коэффициент корреляции для экспериментальной группы после воздействия

Испытуемые	эффективность	время реакции	ранги x*	ранги y*	d	d^2	X*Y
8	8	17	12	5	7	49	136
9	20	13	1	2	1	1	260
10	6	20	15	11,5	3,5	12,25	120
11	8	18	12	7,5	4,5	20,25	144
12	17	21	2	13,5	11,5	132,25	357
13	10	22	8,5	15	6,5	42,25	220
14	10	19	8,5	9,5	1	1	190
9	9	20	10	11,5	1,5	2,25	180
10	7	17	14	5	9	81	119
11	8	19	12	9,5	2,5	6,25	152
12	14	14	4	3	1	1	196
13	13	12	5	1	4	16	156
14	16	18	3	7,5	4,5	20,25	288
15	11	21	7	13,5	6,5	42,25	231
16	12	17	6	5	1	1	204
Всего 15						428
ср.знач	11,3	17,9
станд. Отклонение	4,2	3,1
	XY	2953
	n*XY	3019,5
	(n-1)*Sx*Sy	180,4
	r	-0,37

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ РАНГОВ СПИРМЕНА

При вычислении коэффициента Спирмена используют порядок следования данных, а не их количественные характеристики и интервалы между классами.

При использовании коэффициента корреляции рангов Спирмена r_s проверяют только, будет ли ранжирование данных для какой-либо выборки таким же, как и в ряду других данных этой выборки, попарно связанных с первыми.

Если коэффициент корреляции близок к +1 , то это означает, что оба ряда практически совпадают, а если этот коэффициент близок к –1,можно говорить о полной обратной зависимости.

Коэффициент вычисляют по формуле:

r_s = 1 –6(d²)/(n³-n),

где d - разность между рангами сопряженных значений признаков (независимо от ее знака),

n - число пар.

Обычно этот непараметрический тест используется в тех случаях, когда нужно сделать какие-то выводы не столько об интервалах между данными, сколько об их рангах.

Расчеты для показателя r_s

r_s = 1- (6*428) / (15³-15) = 1 - 2568 / 3360 = 0,24

получен положительный, хотя и недостоверный результат. Какой же из двух результатов более достоверный r = - 0,48 или r_s = + 0,24? Такой вопрос может встать лишь в том случае, если результаты достоверны.

Поскольку в экспериментальной группе после воздействия был получен коэффициент r_s, равный +0,24, подобная тенденция здесь не прослеживается. Разберемся в данных для контрольной группы после воздействия,

испытуемые	фон	после воздействия	d	d^2
1	19	21	2	4
2	10	8	-2	4
3	12	13	1	1
4	13	11	-2	4
5	17	20	3	9
6	14	12	-2	4
7	17	15	-2	4
1	15	17	2	4
2	14	15	1	1
3	15	15	0	0
4	17	18	1	1
5	15	16	1	1
6	18	15	-3	9
7	19	19	0	0
8	22	25	3	9
всего		сумма
15			3	55
	Rs	0,90