3. Количественные характеристики структур

3.1. Связность структуры

Данная количественная характеристика позволяет оценить связность структуры, выявить наличие обрывов в структуре, висячие вершины.

Для неориентированного графа связность всех элементов в структуре соответствует выполнению следующего условия:

i≠j (3.1)

где a_ij - элемент матрицы смежности; (n-1) - необходимое минимальное число связей в неориентированном графе с n вершинами.

Для ориентированного графа связность элементов наиболее полно определяется матрицей связности.

3.2. Структурная избыточность

Этот показатель (R) отражает превышение общего числа связей в структуре над минимально необходимым.

(3.2)

Выявлено, что для систем с максимальной избыточностью R>0; для систем с минимальной избыточностью R=0, для систем несвязных R<0.

Данная характеристика может быть использована для косвенной оценки экономичности и надёжности исследуемых систем, так как системы с большей избыточностью более надёжны. С другой стороны, всякая избыточность связана с увеличением затрат.

В структурном анализе показатель структурной избыточности зачастую дополняется показателем, характеризующим неравномерность распределения связей в структуре неориентированного графа.

Показатель характеризует недоиспользованные возможности заданной структуры, имеющей n вершин и m ребер, в достижении максимальной связности.

(3.3)

где ρ_i - степень вершины графа; = - средняя степень вершины.

Максимальное значение неравномерности связей Е_мах достигается в структуре, имеющей максимально возможное число висячих вершин. Если E значительно меньше Е_мах, то система является относительно менее надёжной, так как не имеет избыточных элементов и отказ одного из них вызовет трудности в функционировании системы в целом.

Для сравнения различных систем по неравномерности связей используют относительную величину Е_отн.= Е/Е_мах.

Е_отн. изменяется от 0 (в структурах с равномерным распределением связей) до 1.

3.3. Структурная компактность

С помощью этой характеристики оценивается близость элементов структуры между собой.

Б лизость двух элементов определяется через минимальную длину пути (d_ij) для ориентированного графа и цепи - для неориентированного графа. Матрица D с элементами d_ij называется матрицей расстояний, или матрицей минимальных длин путей, где элементы определяются следующим образом:

0 , если i=j (для графа без петель);

d_ij = l_ij , минимальной длине пути (цепи) из вершины i в вершину j, если путь (цепь) существует

, если не существует пути (цепи) из вершины i в вершину j

Очевидно, для неориентированного графа матрица D симметрична.

Показатель структурной близости элементов

для i≠j, (3.4)

отражает общую структурную близость элементов между собой в системе.

Чем меньше абсолютное значение этого показателя, тем компактнее структура. Минимальное значение компактности для неориентированного графа имеет структура типа «полный граф». Для него и Q=n(n-1)=Q_min. На основе этого факта формируется относительный показатель структурной компактности:

(3.5)

В случае ориентированного графа показатель структурной компактности Q можно сравнить с показателем компактности для ориентированного полного графа с аналогичным направлением связей.

Кроме того, структурную компактность характеризуют другой характеристикой - диаметром структуры:

d=max d_ij < (3.6)

i,j