- •1. Зведення лінійного диференціального рівняння -го порядку до нормальної системи диференціальних рівнянь
- •2. Система лінійних однорідних диференціальних рівнянь
- •3. Система лінійних однорідних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами та методи їх розв’язування.
- •4. Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь
- •5. Частинні розв’язки лінійних неоднорідних систем
3. Система лінійних однорідних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами та методи їх розв’язування.
Нехай є ЛОС
(3.1)
зі сталими коефіцієнтами .
Означення. Алгебраїчне рівняння
називається характеристичним рівнянням ЛОС (3.1), – характеристичним поліномом матриці , а його корені – власними числами цієї матриці.
Розв’язання ЛОС суттєво залежить від розмірів матриці і від її власних чисел, які можуть бути простими і кратними, кратними з простими елементарними дільниками і кратними елементарними дільниками.
Основними способами розв’язування ЛОС є:
метод Ейлера,
матричний метод,
метод виключення.
Метод Ейлера. Суть цього методу полягає в тому, що розв’язки рівняння ЛОС шукаються у вигляді
, (3.2)
де число і ненульовий сталий вектор потрібно належним чином визначити. Для їх визначення підставимо вектор (3.2) і його похідну у ЛОС (3.1), записану у векторно-матричній формі :
. (3.3)
Отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь, де – одинична матриця, матиме ненульові розв’язки тільки за умови, що її визначник дорівнюватиме нулю, тобто коли буде власним числом матриці .
Зупинимося на найпростішому випадку, коли всі власні числа – дійсні і різні. Тоді матриця має лінійно незалежних власних векторів , які відповідають власним числам . Кожний з цих векторів є розв’язком системи рівнянь (3.3). Водночас вектор-функції
(3.4)
є лінійно незалежними розв’язками системи (3.1), а отже, утворюють фундаментальну систему розв’язків. Тому їх лінійна комбінація
– довільні сталі, є загальним розв’язком цієї системи.
Матриця , елементами якої є елементи векторів є фундаментальною матрицею розв’язків системи (3.1):
При цьому загальним розв’язком системи є вектор-функція де – довільний сталий вектор.
Якщо серед власних чисел матриці є комплексні числа , то їм відповідають комплексно спряжені власні вектори . У цьому випадку комплексні вектор-функції будуть розв’язками системи (3.1). Оскільки за формулами Ейлера
,
то
.
Можна довести, що і дійсна, і уявна частини отриманих комплексних вектор-функцій є розв’язками системи (3.1). Визначник Вронського цих розв’язків у точці не дорівнює нулю
.
Тому за формулою Якобі визначник Вронського для всіх . Отже,
комплексним кореням характеристичного рівняння відповідають дві дійсні вектор-функції
і ,
які є лінійно незалежними розв’язками ЛОС (3.1).
Метод Ейлера застосовується й у випадках кратних коренів характеристичного рівняння, але це застосування значно складніше.
Приклад 1. Знайти фундаментальну матрицю розв’язків і загальний розв’язок системи
Р о з в ’ я з а н н я. Складаємо матрицю коефіцієнтів і характеристичне рівняння системи
.
Корені характеристичного рівняння – дійсні різні. Система має два лінійно незалежні розв’язки і .
Координати власного вектора , що відповідає власному числу , знаходимо з системи алгебраїчних рівнянь
Оскільки координати довільні, то покладаємо . Будуємо відповідний частинний розв’язок системи диференціальних рівнянь:
Координати власного вектора , що відповідає власному числу , знаходимо з системи алгебраїчних рівнянь:
Якщо , то Будуємо відповідний частинний розв’язок системи диференціальних рівнянь
Складаємо фундаментальну матрицю розв’язків системи
.
Далі будуємо загальний розв’язок системи
де – довільні сталі.
Матричний метод. Суть матричного методу розглянемо на системі двох лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
(3.5)
Використовуючи матрицю коефіцієнтів системи, вектор-функцію і її похідну :
,
систему (3.5) запишемо у векторно-матричному вигляді
. (3.6)
Нехай матриця – жорданова форма матриці . Тоді існує неособлива матриця така, що . При цьому, якщо характеристичне рівняння матриці має дійсні різні корені і , то – діагональна матриця:
,
якщо ж , то – клітина Жордана:
.
У системі (3.6) виконаємо заміну :
(3.7)
Якщо – фундаментальна матриця розв’язків системи , то – фундаментальна матриця розв’язків системи .
Зупинимося окремо на кожному з цих випадків.
1. Нехай , Тоді система розпадається на два лінійні диференціальні рівняння і , які легко інтегруються: . Дістаємо вектор-функцію :
: ,
де – фундаментальна матриця розв’язків рівняння (3.7), – довільний сталий вектор.
Фундаментальною матрицею розв’язків системи (3.6) є матриця , а вектор-функція – її загальний розв’язок.
2. Якщо , то
(3.8)
З рівняння дістаємо . З першого рівняння останньої системи, отримуємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку
.
Звідси знаходимо
.
Побудуємо вектор-функцію :
,
де – фундаментальна матриця розв’язків системи (.), – довільний сталий вектор.
Повертаючись до вектор-функції , дістанемо загальний розв’язок системи (3.6):
де – фундаментальна матриця її розв’язків.
Приклад 2. Для системи рівнянь
1) побудувати фундаментальну матрицю розв’язків,
2) знайти загальний розв’язок,
3) знайти частинний розв’язок, який задовольняє початкові умови .
Р о з в ’ я з а н н я. Використовуючи вектор і матрицю , де
систему записуємо так:
Складаємо характеристичний поліном матриці і знаходимо його корені:
.
Будуємо клітину Жордана , що є канонічною формою матриці :
Шукаємо матрицю перетворення :
.
Для цього використовуємо рівність:
.
Перемноживши матриці, дістаємо чотири рівності:
Візьмемо . Тоді Маємо
.
Виконуємо заміну , де – нова невідома вектор-функція:
(3.9)
Інтегруючи друге рівняння останньої системи, дістаємо Вектор-функцію визначено:
,
Тут – фундаментальна матриця розв’язків системи (3.9), – довільний сталий вектор.
1. Будуємо фундаментальну матрицю розв’язків даної системи:
.
2. Будуємо загальний розв’язок:
.
3. Знаходимо розв’язок задачі Коші. Спочатку визначаємо сталі і :
;
потім – частинний розв’язок:
Метод виключення. За допомогою цього методу розв’язування системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами зводиться до розв’язування лінійного диференціального рівняння -го порядку зі сталими коефіцієнтами.
Проілюструємо метод виключення на системі двох рівнянь
(3.10)
Продиференціюємо перше рівняння системи:
(3.11)
З першого рівняння виразимо через і :
і підставимо в рівняння (3.11), яке щойно дістали:
(3.12)
Якщо – загальний розв’язок рівняння другого порядку (3.12), то з першого рівняння системи (3.10)дістаємо і завершуємо побудову загального розв’язку системи:
Приклад 3. Розв’язати задачу Коші
Р о з в ’ я з а н н я.
Інтегруючи отримане рівняння, дістанемо
.
Підставимо цю функцію і її похідну в перше рівняння системи:
.
Із загального розв’язку
,
системи дістаємо розв’язок задачі Коші:
, .