- •Лекция №1 Вводная часть
- •Лекция №2 Закон функционирования динамической системы
- •Первая задача анализа
- •Этапы задачи формирования закона функционирования.
- •Лекция №4 Модель производства.
- •Что является компонентами модели производства?
- •Характеристики очереди
- •Лекция №5 Задача выявления динамических систем от параметров.
- •Этапы анализа динамической системы
- •Задача идентификации
- •Модель Хищник-Жертва
- •Формулы рекурсии
- •Результаты в графической форме
- •Преобразования Продифференцируем первое уравнение исходной системы.
- •Линейные, однородные системы дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени.
- •Лекция №9 Фазовые плоскости динамических систем
- •Классификационная табличка корней характеристического уравнения
- •Лекция №10 Проект
- •Оформление проекта
Этапы анализа динамической системы
Формулировка требований к решению.
Построение численной модели (модель Эйлера, модель Рунге-Кутта, модифицированная модель Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования).
Выбор языка программирования, кодирование и отладка.
Кодирование и отладка численной модели.
Выбор области значений параметров.
t0 |
T |
h |
|
|
|
a |
b |
c |
d |
|
|
|
|
t0 <= t <= T
h – шаг.
a |
b |
|
|||
a max |
a min |
b max |
b min |
|
|
Таблица, которая имитирует поведение системы.
t |
Xi |
|
Xi+1 |
ti |
|
|
|
|
|
|
|
Проведение эксперимента.
Оформление результатов проведенной работы:
аннотация (цель и предполагаемый результат);
постановка задачи исследования;
выбранный метод исследования;
аналитическое описание модели;
описание проведения численного эксперимента;
описание результата численного эксперимента;
анализ результата;
интерпретация результата и вывод.
Задача идентификации
Проблемные вопросы: Как устроена динамическая система? Из каких элементов состоит? В каких они отношениях? Какие функции они выполняют? Как функционируют?
Исходная информация данной задачи:
объект исследования (материальный или идеальный);
наблюденные сведения и информация об объекте исследования;
проблема.
Что есть результат: структура объекта исследования + закон функционирования + математическая модель объекта исследования, на которой мы можем проверить все предыдущие позиции.
Модель Хищник-Жертва
X – численность жертв;
Y – численность хищников.
I.
Коэффициенты a, b, c, d характеризуют взаимоотношения между хищниками и жертвами.
II.
f(X) – количество жертв, поедаемых в единицу времени;
b – естественная рождаемость жертв;
d – естественная смертность жертв.
III.
e – коэффициент переработки биомассы жертвами;
b – коэффициент выедания;
c – коэффициент смертности хищников;
R – коэффициент роста жертв;
- периодическая функция времени, показывает, как внешние факторы влияют на прирост жертв.
Учитывая пространственно-временное расположение:
Модель Базыкина
IV.
L – ограничитель, связанный с питанием;
B – коэффициент естественной смертности хищников.
Модель конкуренции
X – внутривидовая конкуренция;
Y – межвидовая конкуренция.
а – естественное размножение.
Все коэффициенты положительные.
Модель роста фитопланктона
X – концентрация фитопланктона;
S - концентрация биогенного вещества;
M – концентрация метаболита;
а – удельная скорость роста;
p – коэффициент концентрации метаболита;
Уравнение диффузии вещества
P(X,t) – концентрация вещества в данный момент времени в данной точке пространства.
Диффузия вещества происходит так, что из мест с большей концентрацией вещества частицы перемещаются в места с меньшей концентрацией.
Скорость перемещения пропорциональна градиенту плотности.
.
Модели размножения и гибели
Имеется множество разнородных элементов. С течением времени происходит процесс, в котором каждый элемент может быть в одном из состояний: исчезнуть, размножиться или сохраниться, причем состояния описаны некоторыми законами.
Модели распространения эпидемии
При возникновении определенных условий, когда этот процесс идет, появляются самоподдерживающие процессы.
Лекция №6
Нахождение численного решения системы линейных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
Схема дискретизации
t0 |
T |
N |
h |
|
|
|
|
где h – шаг, N – число точек дискретизации.
Четырехшаговая схема Рунге-Кутта
Начальные условия:
Построение модели
Исходные данные:
a11 |
a12 |
a21 |
a22 |
|
|
|
|
x10 |
x20 |
|
|
h1
|
h |
xi |
k1 |
k2 |
k3 |
k4 |
|
xi+1(h) |
xi(h2) |
x1 |
h0 |
x10 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
h0 |
x20 |
|
|
|
|
|
|
|
h2
где xi - текущее значение,
,
(x1(h1)-x1(h2))<ε.