Преобразования Продифференцируем первое уравнение исходной системы.

.

Подставим значение из второго уравнения:

.

Далее выразим :

.

Откуда получим:

.

Заменим , , , получим:

.

Если сделать замену , то:

.

Далее по вышеуказанной схеме получаем решение (строим характеристическое уравнение, получаем корни …)

Схема Рунге-Кутта в данном случае выглядит следующим образом:

Линейные, однородные системы дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени.

Это было вхождение в теорию управления. Рассмотрим далее систему:

,

Сведём её к:

,

а уже от неё перейдем к:

.

Где схема Рунге-Кутта выглядит так:

Лекция №9 Фазовые плоскости динамических систем

(*)

(1)

или

- оно сводится к (1), если

Решению системы дифференциальных уравнений мы ставим некоторое графическое представление:

Особая точка – это та точка, в которой правая часть уравнения * обращается в нуль, т.е. является корнем уравнения.

Все исследование состоит в том, чтобы найти особые точки и потом решать систему в их окрестностях.

Рассмотрим:

;

Найдем особые точки, приравняв определитель системы нулю, если он будет равен 0, то особых точек будет много, а если нет, то будет 1 особая точка.

Классификационная табличка корней характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения	Тип особой точки	Фазовый портрет в окрестности особой точки
	Неустойчивый узел
	Устойчивый узел
	Седло
	Центр
	Неустойчивый фокус
	Устойчивый фокус
	Неустойчивый узел или дикритический узел
	Устойчивый узел или дикритический узел
	Прямая
	Прямая
	Вся фазовая плоскость

Фазовая плоскость геометрически обрезает решения дифференциального уравнения в окрестности особой точки.

Переменные фазового пространства – это переменные системы дифференциальных уравнений.

Какие возможны траектории движения?

Это будет важно в задачах воздействия на поведение.

Алгоритм исследования системы:

• аналитически

• с помощью компьютера