2.2 Свойства цифровых фильтров.

1. Цифровой фильтр называется стационарным, если его параметры не изменяются во времени, т.е. предварительно невозбужденный фильтр, в котором x(n)=y(n)=0 при всех n<0 называют стационарным тогда и только тогда, когда

для всех возможных воздействий.

2. Цифровой фильтр называют линейным тогда и только тогда, когда

для всех  и  - произвольных постоянных и всех допустимых воздействий x₁(n) и x₂(n).

3. Цифровой фильтр называют физически реализуемым, если величина отклика при n=n₀ зависит только от значений входной последовательности с номерами nn₀. Это означает, что импульсная характеристика h(n) равна нулю при n<0.

4. Цифровой фильтр называется устойчивым тогда и только тогда, когда реакция на ограниченное воздействие ограничена, т.е. если из при всех n следует при всех n. Необходимым и достаточным условием устойчивости фильтра является следующее требование к его импульсной характеристике:

.

2.3 БИХ – фильтры. Методы синтеза.

Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтром) называют фильтр, длина импульсной характеристики которого не ограничена справа или слева.

Будем рассматривать БИХ-фильтры при условии, что они являются физически реализуемыми и устойчивыми. Для импульсных характеристик таких фильтров h(n) справедливы следующие ограничения:

Наиболее общая форма записи z-преобразования импульсной характеристики БИХ-фильтров имеет вид:

(3)

Будем предполагать, что MN. Системы, удовлетворяющие этому условию, называют системами N-го порядка.

Решение задачи расчета фильтров сводится к нахождению значений его коэффициентов a_i и b_i, обеспечивающих аппроксимацию заданных характеристик фильтра. Таким образом, задача расчета фильтра в значительной мере сводится к задаче аппроксимации и может быть решена чисто математическими методами.

Наиболее распространенным методом расчета цифровых БИХ-фильтров является метод дискретизации аналогового фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям. При расчете цифровых фильтров верхних частот, полосовых и режекторных используются два подхода, представленные на рис. 2.

рис.2.

В первом случае нормализованный аналоговый фильтр предварительно преобразуется в другой аналоговый фильтр, из которого путем дискретизации рассчитывается фильтр с заданными характеристиками. Во втором случае нормализованный фильтр нижних частот дискретизуется сразу же, а затем путем преобразования его полосы частот формируется цифровой фильтр с заданными характеристиками.

2.3.1 Аналоговые фильтры-прототипы.

Приведем расчетные формулы для нескольких стандартных типов аналоговых фильтров. Пусть нужно рассчитать аналоговый фильтр нижних частот с частотой среза =1 рад/с. В качестве аппроксимируемой функции будет использоваться квадрат амплитудной характеристики (исключением является фильтр Бесселя).

Будем считать, что передаточная функция аналогового фильтра является рациональной функцией переменной S следующего вида:

2.3.2 Фильтры Баттерворта.

Фильтры Баттерворта нижних частот характеризуются тем, что имеют максимально гладкую амплитудную характеристику в начале координат в S-плоскости. Квадрат амплитудной характеристики нормированного (т.е. имеющего частоту среза 1 рад/с) фильтра Баттерворта равен:

,

где n - порядок фильтра. Аналитически продолжая функцию на всю S-плоскость, получим

Все полюсы этой функции находятся на единичной окружности на одинаковом расстоянии друг от друга в S-плоскости. Выразим передаточную функцию H(S) через полюсы, располагающиеся в левой полуплоскости S:

,

где , k=1,2,...,n

k₀ - константа нормирования.

Можно сформулировать несколько свойств фильтров Баттерворта нижних частот.

· Фильтры Баттерворта имеют только полюсы (все нули передаточных функций этих фильтров расположены на бесконечности).

· На частоте =1 рад/с коэффициент передачи фильтра равен (т.е. на частоте среза их амплитудная характеристика спадает на 3 дБ).

· Порядок фильтра n полностью определяет весь фильтр.