Введение в гидравлику

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

	=	= изб .	(3.5)
изб

В общем случае давление p0 может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу давления жидкости на стенку

необходимо рассматривать как сумму двух сил:						от внешнего давления
p0 и силы изб от веса жидкости, т.е.
= +	= + = (			+		) .	(3.6)
0 изб	0		0

В случае, когда стенка расположена горизонтально (угол = 0), то есть представляет собой не боковую стенку, а горизонтальное дно сосуда, полное давление определяется по тем же формулам и составляет

= = ,

(3.7)

где - высота столба жидкости в сосуде.

То есть, полная сила давления жидкости на горизонтальную поверхность равна весу столба жидкости, расположенной над рассматриваемой поверхностью.

Вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления, оказываемой ею на дно сосуда. В этом заключается гидростатический парадокс.

Если одна и та же жидкость налита до одной и той же высоты

в сосуды различной формы, но с одинаковой площадью дна, то,

несмотря на различный вес налитой жидкости, сила давления на дно

одинакова для всех сосудов и равна весу жидкости в цилиндрическом сосуде.

Направление силы давления на плоскую стенку согласно первому свойству гидростатического давления будет нормально к плоскости стенки.

Но необходимо учесть, что эта сила не сконцентрирована в точке, а распределена по площади, которое (распределение) является неравномерным. По этой причине для расчётов, кроме величины силы действующей на наклонную площадку, необходимо знать точку приложения равнодействующей.

Положение точки D (координату yD), в которой приложена равнодействующая силы давления, называемая центром давления.

Так как внешнее давление p0 передаётся всем точкам площади S одинаково, то его равнодействующая F0 будет приложена в центре тяжести площади S. Для нахождения точки приложения силы давления от веса жидкости (точка D) используется формула

		=	+	0	,	(3.8)

где 0 - момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной 0x.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

∆ =	0	.	(3.9)

Если давление p0 равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. При p0 выше атмосферного центр давления находится по правилам механики как точку приложения равнодействующей двух сил: F0 и Fж. Чем больше первая сила по сравнению со второй, тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести площади S.

Давление жидкости на криволинейные стенки

В общем случае нахождения силы давления жидкости на поверхности произвольной формы является достаточно сложной задачей, которая решается, как правило, графическим методом путём построения эпюры гидростатического давления.

Однако на практике чаще всего приходится иметь дело с цилиндрическими или сферическими поверхностями, имеющую вертикальную плоскость симметрии, например, стенки трубы, резервуаров и всевозможных цилиндрических сосудов. Сила давления в этом случае может быть найдена аналитическим путём.

Рассмотрим цилиндрическую поверхность АВ с образующей, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 3.6), и определим силу давления жидкости на эту поверхность в двух случаях:

1)жидкость расположена сверху (рис. 3.6, а);

2)жидкость расположена снизу (рис. 3.6, б).

а б Рисунок 3.6 – Схема для определения силы давления жидкости

на цилиндрическую поверхность

Если жидкость действует на стенку AB с силой F, то стенка AB действует на жидкость с силой F, направленной в обратную сторону. Эту силу реакции разложим на две составляющие: горизонтальную Fг и

вертикальную Fв.
в = 0 г + ,	(3.14)
где 0 - давление на свободной поверхности жидкости;
г - площадь горизонтальной проекции поверхности AB;

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

= - вес выделенного объёма жидкости.

Если давление 0 на свободной поверхности жидкости равно атмосферном и находится сила избыточного давления, то очевидно, что

	= = ,	(3.15)
в

то есть, вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на криволинейную стенку равна весу жидкости в объёме тела давления.

	=	= (	+ )	=	+	,	(3.16)
г	в		в	в	0	в

где - гидростатическое давление жидкости в центре тяжести площади BE, т.е. в точке E;

- глубина расположения центра тяжести площади BE;в - площадь вертикальной проекции поверхности AB.

Горизонтальная составляющая силы избыточного давления жидкости при 0 = атм равна

	=	.	(3.17)
г		в

Полная сила гидростатического давления, являющаяся равнодействующей её составляющих в и г, определяется зависимостью:

= √2		+ 2	,	(3.18)
	г	в

а её направление – углом β, значение которого может быть определено из выражения:

tg =	г	.	(3.19)
	в

Когда жидкость расположена снизу от стенки (рис. 3.6, б),

гидростатическое давление во всех точках поверхности имеет те же значения, что и при первом случае, но направление его будет противоположным, и составляющие силы в и г определяются по тем же формулам (3.14) и (3.17), но с обратным знаком. При этом под величиной следует понимать так же, как и в первом случае, вес жидкости в объёме ABCD, хотя этот объём и не заполнен жидкостью.

Тема 4 Основные положения гидродинамики Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором рассматриваются

общие законы движения жидкости и взаимодействие с окружающими её поверхностями.

Жидкость движется под действием различных сил: силы тяжести, внешнего давления, инерционных сил и т.д.

Гидродинамическими характеристиками потока являются: гидродинамическое давление – р и скорость движения жидкости – υ.

Гидродинамическое давление – это внутреннее давление,

возникающее при движении жидкости.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Скоростью движения жидкости в данной точке называется скорость перемещения в пространстве частицы жидкости, находящейся в данной точке. Скорость определяется длиной пути, пройденного частицей жидкости в единицу времени.

4.3 Виды движения жидкости

Движение жидкости может быть установившимся и неустановившимся.

Неустановившимся называется движение жидкости, все характеристики которого (или некоторые из них) в точках потока изменяются с течением времени.

Установившимся называется такое движение жидкости, при котором параметры потока не изменяются с течением времени.

неустановившегося		движения		установившегося		движения
жидкости				жидкости
	Рисунок – Примеры движения жидкости

Установившееся движение может быть равномерным и неравномерным.

Равномерным называется установившееся движение жидкости, если значения скоростей в соответствующих точках любых живых сечений будут одинаковы и поле скоростей остаётся неизменным вдоль потока.

Неравномерным называется установившееся движение, если сечение потока по длине будет непостоянным, или расход жидкости будет изменяться по длине потока вследствие притока со стороны или утечки жидкости по пути течения.

При рассмотрении неравномерного движения жидкости пользуются понятием плавноизменяющегося движения.

Плавноизменяющимся называется такое движение жидкости, при которой кривизной линий тока и углом расхождения между ними можно пренебречь, причём живые сечения представляются возможным считать плоскими, нормальными к оси потока.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

В зависимости от условий, при которых происходит движение жидкости, различают напорное и безнапорное движение, а также струи.

Напорный поток полностью ограничен со всех сторон твёрдыми стенками. Движение жидкости в таком потоке происходит под влиянием давления, сообщаемого каким-либо внешним источником.

Безнапорным называется поток со свободной поверхностью, в котором жидкость перемещается только под действием силы тяжести.

4.4 Гидравлические характеристики потока жидкости

При изучении потока жидкости рассматривают ряд гидравлических элементов патока, характеризующих его размеры и формы поперечного сечения.

Под живым сечением можно понимать плоское поперечное сечение потока, нормальное к общему направлению движения жидкости.

Площадь живого сечения будем обозначать S или ω (рис. 4.9).

Рисунок 4.9 – Поперечные сечения потока различной формы Длина контура живого сечения, по которому поток соприкасается с

ограничивающими его стенками, называется смоченным периметром,

(хи).

При напорном движении жидкости геометрический периметр и смоченный периметр совпадают по значению (рис. 4.9, а), а при безнапорном – смоченный периметр будет отличен от геометрического, т.к. линия, по которой жидкость соприкасается с воздухом, в длину смоченного периметра не входит. Например, для канала, изображенного на рис.4.9 б, периметр смачивания

= + 2 ,

а геометрический равен

= 2 + 2 .

Отношение площади живого сечения к смоченному периметру

называется гидравлическим радиусом сечения, т.е.
= ,	(4.1)

где ω – площадь живого сечения;- смоченный периметр.

Расходом жидкости называют количество жидкости, протекающее через живое сечение потока за единицу времени.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Это количество можно выразить в единицах объема, в весовых единицах или в единицах массы.

Если количество жидкости выражено объёмом, то расход

называется объёмным, обозначается – Q, и определяется как
= ∙ .	(4.2)
Соответствующую объёмному расходу массу жидкости называют
массовым расходом и обозначают - Qm, определяется
= ∙ .	(4.3)

Наряду с этими в гидравлике широко используется понятие весового расхода – G, под которым подразумевается вес жидкости, протекающий в единицу времени через живое сечение потока и определяется как

	= ∙ .	(4.4)
Единицами расхода являются:
- объёмного	в СИ [м3/с], в СГС см3/с
	(1л/с=0,001м3/с; 1м/с=1000см3/с);
- массового	в СИ кг/с, в СГС г/с ;
- весового	в СИ Н/с .

В гидравлике приходится иметь дело главным образом с объёмным расходом жидкости, в дальнейшем будем называть его просто расходом.

Кроме того, применяются равнозначные расходу понятия такие как производительность, дебит, пропускная способность.

Важной характеристикой потока является средняя скорость потока в данном сечении, представляющая собой частное от расхода Q на

площадь живого сечения потока:
=		.	(4.5)

В реальных потоках вязкой жидкости местные скорости в различных потоках живого сечения будет различным.

Средняя скорость потока при установившимся движении жидкости – это такая фиктивная, одинаковая для всех точек потока скорость, с которой должны двигаться все частицы жидкости в данном живом сечении при расходе, соответствующем истинным скоростям этих частиц.

4.5 Уравнение неразрывности (сплошности)

Рассмотрим установившееся движение несжимаемой жидкости в потоке переменного сечения (рис. 4.13). Выберем два произвольных сечения

– 1-1 и 2-2, нормальных к оси потока, обозначив соответствующие площади через S1 и S2, средние скорости движения через vср1 и vср2 и расходы потока через Q1 и Q2. Рассмотрим заключённый между ними участок потока.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рисунок 4.13 – Схема к выводу уравнения неразрывности для потока жидкости

Основываясь на законе сохранения массы, на предположении о сплошности (неразрывности) течения для установившегося движения потока несжимаемой жидкости, ограниченного непроницаемыми стенками (т.е. отсутствуют приток и отток жидкости через ограничивающие его стенки) можно утверждать, что объемный расход в сечении 1-1 равен объемному расходу в сечении 2-2.

1 = 2.

Но т.к. сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то можно записать,

что:

	=	=	= =	= = .	(4.8)
1	2	3

Это уравнение называют уравнением постоянства расхода. Из него следует, что в любом сечении потока при установившимся движении несжимаемой жидкости расход её постоянен.

Выражая расход жидкости в сечениях через среднюю скорость, получим

		=		=		= =		=	= ,	(4.8´)
ср1	1	ср2	2	ср3	3	ср		ср

Уравнение (4.8´) называют уравнением неразрывности потока. Оно показывает, что при установившемся движении несжимаемой

жидкости произведение площади живого сечения на среднюю скорость потока является постоянной величиной.

Из уравнения неразрывности потока жидкости для двух сечений вытекает следствие:

	ср1	=	2	(4.9)
	ср2		1

при установившемся движении жидкости средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.

4.6 Уравнение Д. Бернулли

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Уравнение Бернулли устанавливает связь между основными параметрами движения: давлением, скоростью в живом сечении струйки или потока и геометрическим положением живого сечения струйки или потока жидкости, и отражает закон сохранения механической энергии.

Уравнение Бернулли выводится в три этапа:

1)для элементарной струйки идеальной жидкости;

2)для элементарной струйки реальной жидкости;

3)для потока реальной жидкости.

Каждое из последующих уравнений выводится на основе предыдущего. Вместе с тем каждое уравнение имеет соё назначение и круг решаемых задач.

			2				2
+	1	+	1	= +	2	+	2	.	(4.15)
1			2	2			2

Полученное уравнение называют уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Трехчлен вида

+ + 2 =

2

называют полным напором.

Уравнение Бернулли (4.15), записанное для двух произвольно взятых сечений струйки, и выражает равенство полных напоров H в этих сечениях.

С геометрической точки зрения все члены уравнения Бернулли,

имея линейную размерность, могут характеризоваться как высоты или напоры:

z представляет собой геометрическую высоту, или геометрический напор, т.е. измеряет высоту расположения движущейся частицы жидкости в данном сечении над некоторой горизонтальной плоскостью - плоскостью сравнения 0-0 (рис. 4.15).

Рисунок 4.15 – К понятию геометрической высоты - так же как и в гидростатике, называется

пьезометрической высотой, или пьезометрическим напором, т.е.

представляет высоту столба жидкости, уравновешивающуюся давление р в данной точке.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Установив в данном сечении элементарной струйки пьезометр (рис. 4.16), можно получить наглядное представление о величине давления, соответствующей высоте поднятия жидкости в этом пьезометре.

Рисунок 4.16 - К понятию пьезометрической высоты

- скоростная высота, или скоростной напор.

Более наглядное представление о «скоростном напоре» можно получить, установив в рассматриваемом сечении трубку Пuто – открытую с обоих концов прозрачную трубку, изогнутую под углом 900, у которой нижний загнутый конец помещается в центр сечения трубопровода так, чтобы отверстие трубки располагалось против течения (рис. 4.17). Другой конец трубки при этом перпендикулярен поверхности воды и выступает из неё на некоторую высоту.

Рисунок 4.17 – К понятию скоростного напора Итак, геометрический смысл уравнения Бернулли можно

сформулировать так: при установившемся движении идеальной

жидкости сумма трёх напоров (высот) – геометрического, пьезометрического и скоростного вдоль струйки остаётся неизменной.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Таким образом, мы имеем в каждом сечении струйки жидкости сумму трех напоров: гидростатического, геометрического и скоростного, т.е. полный напор, а уравнение Бернулли показывает, что полный напор в любом сечении элементарной струйки есть величина постоянная.

Энергетическая (физическая) сущность уравнения Бернулли заключается в том, что оно выражает закон сохранения энергии элементарной струйки

			2				2
+	1	+	1	= +	2	+	2	= .	(4.16)
1			2	2			2

Левая часть уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию элементарной струйки в сечении 1-1, которая равно полной удельной энергии элементарной струйки в сечении 2-2 и является величиной постоянной (рис. 4.18).

Удельной энергией называют энергию, отнесённую к единице веса жидкости.

Рассмотрим, что представляют собой все члены уравнения Бернулли с физической или с энергетической точки зрения:

и – удельная потенциальная энергия положения, величина которой зависит от положения центра тяжести рассматриваемого сечения над плоскостью сравнения 0-0;

	и		–	удельная потенциальная энергия давления в

соответствующих сечениях, величина которой зависит от высоты столба жидкости в пьезометре, находящемся над центром тяжести рассматриваемого сечения струйки;

			и			–	удельная кинетическая энергия (энергия движения)

элементарной струйки в сечениях 1-1 и 2-2.

4.6.3 Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать реальную (в которой при движении возникают касательные напряжения), то уравнение Бернулли должно будет существенным образом измениться. Действительно, если при движении идеальной жидкости её полная удельная энергия или напор Н сохраняет постоянное значение по длине струйки, то при движении реальной жидкости эта энергия (напор) будет убывать по направлению движения. Причина этому – неизбежные затраты энергии на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости. Значит, для струйки реальной жидкости полная удельная энергия (напор) в сечении 1-1 будет всегда больше, чем полная удельная энергия (напор) в следующем за ним на некотором расстоянии сечении 2-2 на величину указанных потерь энергии, и уравнение Бернулли для элементарной стуки реальной жидкости примет вид