11. Формула Тейлора диференнційовної функції та її залишковий член. Формула Тейлора для елементарних функцій та її застосування.

Предположим, что функция имеет все производные до -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку , а в этой точке – до -го порядка. Найдем многочлен степени не выше , значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до -го порядка в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке:

.

Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням с неопределенными коэффициентами: . (*)

Далее находим производные от . Подставляя в левые и правые части этих производных вместо значение и заменяя через , через и т.д., получим

.

Откуда находим неизвестные коэффициенты , и подставляя их в формулу (*), получим искомый многочлен

.

Обозначим через разность значений данной функции и построенного многочлена : , откуда , или в развернутом виде

Т. о. мы получили ф-лу Тейлора ф-и одной действ. пер-й. наз-ся остаточным членом.

Формы остаточного члена.

1.Форма Лагранжа: , (точка заключена между и , ).

2.Форма Коши: , .

3.Форма Пеано: .

Ряд Тейлора

Пусть ф-я имеет производные любого порядка в окрестности точки . Для такой ф-и можно составить ряд:

Независимо от того, сх-ся или расх-ся этот ряд, он наз. рядом Тейлора ф-и по степеням . Если , то соответствующий ряд называют рядом Маклорена.

Теорема1. Если ф-я имеет на отрезке производные любого порядка и остаточный член стремится к 0 при

на этом отр., то раскладывается в сх-ся к ней ряд Тейлора на этом отр.

Теорема2. Если функция имеет на отрезке производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом , то остаточный член на этом отрезке стремится при к 0.

Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) основных элементарных функций.

1. Эта функция бесконечно дифферкнцируема на . При этом

.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

, ,

где может быть положительным и отрицательным. На отрезке ,

.

Это показывает, что функция раскладывается на в сходящийся к ней ряд Тейлора по степеням (ряд Маклорена):

.

Но произвольное число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси.

2. Данная функция имеет производную любого порядка и

.

Поэтому по теореме 2 функция раскладывается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням :

.

3. Совершенно аналогично можно получить, что

.

4. Эта функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого при . Так как

,

то формула Тейлора имеет вид

.

Используя ф-лы лагранжа и Коши остаточного члена можно показать, что . Поэтому ф-я раскладывается в указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням :

.

5. Для этой функции

, .

Формула Тейлора по степеням имеет вид

.

Можно доказать, что при любом : . Поэтому для любого действительного имеет место разложение функции в ряд Тейлора по степеням :

.