- •60Путей сообщения (миит)
- •Математические модели и методы в инженерных расчетах
- •Введение
- •1.Математические модели
- •1.1Модель процесса проектирования
- •1.2Теория вероятностей
- •1.3 Математическая статистика
- •1.4Сортировка
- •1.5Интерполяция табличных зависимостей
- •1.6Аппроксимация.
- •1.6.1Метод наименьших квадратов для многочленов
- •1.6.2 Полиномиальная аппроксимация
- •1.6.3Линейная аппроксимация
- •1.7Сглаживание данных
- •1.8Предсказание (экстраполяция функции)
- •1.9 Рис. 1.14 Экстраполяция функции. Численное дифференцирование
- •1.10Вычисление определенного интеграла
- •1.11Численное решение дифференциальных уравнений
- •1.12Моделирование рельефа местности
- •1.13 Рис. 1.19 Цифровая модель рельефа и продольный профиль земли по заданному направлению Моделирование продольного профиля и плана при реконструкции железных дорог
- •2.Математические методы
- •2.1Реализация численной модели на эвм
- •2.2Целевая функция. Ограничения
- •2.3Оптимизация без ограничений
- •2.3.1Прямой одномерный поиск
- •2.4Прямой многомерный поиск
- •2.4.1Градиентные методы
- •2.5 Рис. 2.35 Градиентный метод. Оптимизация с ограничениями.
- •2.6Линейное программирование
- •2.7Нелинейное программирование
- •2.8Графы
- •2.9Метод динамического программирования.
- •2.10Поиск кратчайшего пути в графе
- •2.11Экономические аспекты автоматизированного проектирования.
- •2.12Проблемы программных реализаций.
- •Программного обеспечения.
- •1. Математические модели 4
- •2. Математические методы 41
- •Екатерина Александровна Рыжик
МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
60Путей сообщения (миит)
Кафедра «Изыскания и проектирование железных дорог»
В. А. БУЧКИН
Е. А. РЫЖИК
Математические модели и методы в инженерных расчетах
Конспект лекций
для студентов специальности
«Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство»
Москва - 2004
УДК 625.111:519.2
Б 94
Бучкин В. А., Рыжик Е. А. Математические модели и методы в инженерных расчетах: Конспект лекций. - М.: МИИТ, 2004.- 76 с.
Конспект лекций разработан по дисциплине «Математические модели и методы в инженерных расчетах» для студентов специальности 290900 – Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство.
Рецензенты:
заместитель главного инженера проектно-изыскательского института «Иркутскжелдорпроект» ОАО «РЖД» О.Ю. Попов;
профессор кафедры «Организация, технология и управление строительством» МИИТа, доктор технических наук Т.В. Шепитько.
© Московский государственный
университет путей сообщения
(МИИТ), 2004
Введение
Современный этап научно-технического прогресса ориентирован на создание оптимальных изделий, необходимых обществу. Созданию оптимальных изделий предшествует большая (часто, очень большая) вычислительная работа, которая не может быть выполнена без использования вычислительной техники, которая, собственно, и была изобретена для выполнения такой работы. Однако вычислительная техника сама по себе не решает поставленной задачи, а является лишь базой, обеспечивающей работу программных средств. Программы работают не с реальными объектами, а только с их математическими моделями. Для работы с математическими моделями используются математические методы.
Реализация математических методов требует разработки вычислительных технологий, алгоритмов - последовательности математических и логических операций, однозначно приводящих к конечному результату за реальное машинное время. Каждая из операций реализуемая в пределах алгоритмов должна быть точно и однозначно определена. Это касается как сложных операций, так и простейших.
Разработка и обоснование вычислительной технологии реализации прикладного метода, неизбежные в реальной работе, обычно недооцениваются. Это связано с характерной чертой вычислительной технологии: «в некотором смысле ее средства тривиальны и доступны не очень сведущему человеку. В то же время всякий, кто занимался вычислительной работой всерьез, знает, что она требует большого труда, фантазии и сообразительности, основательных теоретических знаний».
В конспекте используются фрагменты текста и рисунки из книг, приведенных в списке литературы.
1.Математические модели
Процессы, происходящие в реальном мире, описываются как совокупность некоторых операций связывающих исследуемые объекты. Такими операциями могут быть наблюдения, эксперименты, расчеты и т.п. Сложность подлинных ситуаций, возникающих при взаимодействии объектов исследования, требует упрощения описаний связей между ними, выделения среди них наиболее существенных. Такие описания и принято называть моделями.
Таким образом, моделью можно назвать то, что при проведении исследования заменяет реальный объект или явление.
Математическая модель сводится к описанию, формализации изучаемого процесса или явления на языке математики, то есть с помощью абстрактных, символических объектов, таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.