Квантово-механическое представление атома водорода.
Гипотеза де Бройля. Электромагнитное излучение (свет) обладает одновременно и волновыми и корпускулярными свойствами. В этом проявляется корпускулярно-волновой дуализм.
В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, что корпускулярно-волновой дуализм является особенностью не только электромагнитного излучения, но имеет универсальное значение. Он предположил, что любая микрочастица (а не только фотон) обладает корпускулярно-волновыми свойствами. Более того, де Бройль предположил, что связь между характеристиками микрочастицы как волны, так и корпускулы, такая же, как и у фотона. Для фотона, например, импульс (характеристика частицы) связан с длиной волны (характеристикой волны) соотношением
, Откуда .
Согласно де Бройлю, любая
микрочастица может характеризоваться
длиной волны
Оценим, например, величину
для электрона, ускоренного полем с
разностью потенциалов 25 В:
,
откуда
м/с;
Å,
т.е. такому электрону соответствует диапазон рентгеновских волн.
Если электроны действительно обладают волновыми свойствами, то они, согласно де Бройлю, должны вести себя подобно рентгеновским лучам. На этом основаны эксперименты, подтверждающие гипотезу де Бройля.
Характерным
проявлением волновых свойств рентгеновских
лучей является их дифракция на
кристаллической решетке (т.к. постоянная
решетки сопоставима с длиной волны).
Для дифракции рентгеновских лучей
справедлива формула Вульфа-Бреггов
- условие максимумов дифракционной
картины (лучи, отраженные от одной
плоскости решетки, усиливают лучи,
отраженные от другой плоскости).
Следовательно, и электроны должны
дифрагировать на кристаллической
решетке. Установили это экспериментально
в 1927 г. К.Дж.Дэвиссон и Л.Х.Джермер. Схема
одного из экспериментов была следующей
(рис.6). В опыте угол
выбирался постоянным, а длина волны
менялась путем изменения ускоряющей
разности потенциалов. Т.к.
,
а
,
то
.
Условие максимумов:
,
где
=
1, 2, 3, … Отсюда максимум интенсивности
регистрации электронов должен наблюдаться
при
.
Экспериментальная зависимость подтвердила
наличие волновых свойств у электронов,
т.е. подтвердила гипотезу де Бройля.
Уравнение Шредингера. Квантовые числа.
Волновой процесс,
соответствующий состоянию микрообъекта,
может быть описан плоской монохроматической
волной де Бройля только в случае
свободного движения частицы, обладающей
определенной энергией
и импульсом
.
Функция, которая описывает волновой
процесс в общем случае (произвольное
движение частицы в произвольных полях),
является весьма сложной. Она зависит
от координат и времени, и называется
волновой функцией или пси-функцией -
.
Водородоподобные
атомы представляют собой системы,
состоящие из ядра, заряд которого
и одного электрона (заряд
).
Примерами подобных систем являются
атомы водорода Н, дейтерия D,
трития T,
ионы гелия He+,
лития Li++
и т.д.
Рассмотрим систему, состоящую из ядра и электрона. Потенциальная энергия взаимодействия ядра и электрона равна
.
Уравнение
Шредингера для стационарных состояний
электрона в водородоподобном атоме с
учетом вида
,
где
- полная энергия электрона;
или
,
где
- оператор Лапласа:
.
Из решения уравнения Шредингера в сферических координатах вытекает существование трех независимых параметров, называемых квантовыми числами. Которые определяют следующие характеристики электрона в атоме.
- главное квантовое число, оно определяет энергию электрона в атоме.
.
-
орбитальное
(азимутальное) квантовое число,
которое определяет момент импульса
электрона в атоме, т.е. конфигурацию
электронного облака
и
принимает
значений:
.
- магнитным квантовым числом. Оно
определяет проекцию момента импульса
на произвольно выбранную ось:
,
и
принимает
значений:
.
Существует еще четвертое квантовое число, существование которого вытекает из решения уравнения Дирака, который в 1929 г. разработал основы релятивистской квантовой механики, откуда вытекает существование собственного механического и магнитного моментов электрона.
-
спиновое
квантовое число,
которое определяет собственный
механический момент электрона (спин) и
принимает значение ½.
-
магнитное
спиновое квантовое число,
которое определяет проекцию собственного
механического момента электрона (спина)
на произвольно
выбранную ось
и принимает значение
½.