1.1

Специальная система относительности

Все физические процессы происходят в пространстве и времени. Поэтому фазы теории тесно связаны с представлением о пространстве и времени.

Представления человека о пространстве и времени формировались в течение всей истории его развития на основе повседневного опыта. Наиболее полно и физически содержательно эти представления были сформированы Ньютоном в виде понятий об абсолютном пространстве и абсолютном времени. Построенная в рамках этих представлений классическая механика и теория тяготения находились в великолепном согласии с данными эксперимента.

Проводился опыт, в рамках которого были сформированы предс-тавления об абсолютном пространстве и абсолютном времени, который сводился к практической деятельности человека, в процессе которого человек имел дело с геометрическими соотношениями между телами, которые можно легко увидеть невооруженным глазом. Эти тела могли двигаться со скоростями, не очень существенно отличающимися от скорости, с которой человек сам мог передвигаться.

При изучении явлений Меира выяснилось, что многие, казавшиеся столь естественными и незыблемыми, понятия и представления в отношении к явлениям Меира оказываются бессодержательными либо просто ошибочными. Задача нового подхода к пониманию явлений Меира была решена классической механикой. При изучении движений, совершающихся с очень большими ск., выяснилось, что казавшиеся столь естественными и незыблемыми понятия и представления в пространстве и времени требуют принципиального пересмотра. Этот пересмотр понятий о пространстве и времени был осуществлен теорией относительности. По своему содержанию ТО не является э/д теорией. Это общефизическая теория. Однако вместе с курсом э/д она изучается не случайно:

Во- первых, её возникновение исторически связано с э/д;

Во- вторых, э/д является исторически первой фактически инвариантной теорией;

В- третьих, э/д и движение заряженных частиц дало много примеров применения общих положений ТО

1.2а

Постулаты ТО:

1. Все явления природы протекают одинаково в различных ИСО

(при одинаковых начальных условиях)

2. Существует предельная скорость распространения взаимодейс-твий, равная С и не зависящая от движения взаимодействующих тел.

(1.2а)

Принцип относительности

Основополагающая работа создателя ТО А. Эйнштейна опубликована в 1905 году и называлась «К э/д движущихся тел». В классической механике

-инвариантная относительно преобразования Галилея. При переходе к преобразованию Лоренца для неизменности уравнения Ньютона вводят

Принцип: относительно друг к другу движения тел заключенных в к/л пространстве, покоится это пространство или движется без вращения.

Р ассмотрим 2 системы, которые движутся по отношению друг к другу.

y=y, z=z’, t=t’,

будем считать, что в момент t=0 начала координат совпадают. Тогда формулы можно записать в виде x’=x-ut

x=x’-ut – преобразование Галилея для координат. Следовательно, компоненты скорости

, ,

, ,

Законы механики Ньютона не меняются от преобразований Галилея.

Уравнения Максвелла меняются от преобразований Галилея.

Следствие из теории Максвелла: скорость света не зависит от движения источников света.

Преобразование Лоренца

Уравнения Максвелла не меняются от преобразований Лоренца, но от них меняются уравнения Ньютона. вводят , от чего уравнения Ньютона не меняется.

Следствия

1. Сокращение длины движущегося тела:

Пусть стержень длиной L покоится в штрихованной системе коор-динат и расположен вдоль оси x’. Координаты его концов обозначим через и . По определению длины стержня

В штрих. системе координат рассматриваемый стержень движется со скоростью V. По формулам преобразования Лоренца можем записать

;

Тогда длина движущегося стержня меньше, чем покоящегося.

Если стержень расположить || y или z, то его длина не изменяется.

2 Замедление времени в движ. СК

При скоростях u~=с происходит значительное уменьшение временных интервалов

, Е- движ. точка; T- неподв. СК

Пример.

1. Время жизни мезона составляет с. Двигаясь со скорос-тью света, за такой промежуток времени он может пройти лишь ~n·100 м, а пролетает h~10 км время жизни частицы возрастает в n·1000 раз.

2. Парадокс близнецов:тот, кто в космосе испытывает ускорение, стареет медленнее.

Одновременность: Если два события в движущейся системе одновре-менны, то в бесконечности они не будут одновременны.

Когда свет доходит до часов, они начинают работать. В движущейся СК . Для неподвижной СК:

;

;

Четырёхвекторы

Р ассмотрим поворот СК. Пусть , тогда

Вращении приводит к

x’ сменяет x и y

y’ сменяет x и y

Запишем преобразование Лоренца:

????????

Вывод: Преобразование Лоренца похоже на уравнение СК

Длина вектора от вращения СК измениться не может.

! Сумма квадратов компонент- величина

неизменная при вращении.

Т.О. в теории относительности инвариантным является 4-хмерный вектор.

Пространство, время. Интервал

Событие, происходящее с некоторой частицей, характеризуется местом, где оно произошло. Если ввести 4-мерное пространство (x, y, z, t). то в этом пространстве событие изобразится точкой.

Точка, изображающая событие в 4-мерном пространстве, называется мировой точкой. С течением времени мировая точка, соответствующая к/л частице, перемещается в 4-хмерном пространстве, описывая

??????????

1.6

Рассмотрим два события, первое из которых заключается в испускании светового сигнала из точек ( ) ,а второе- в приходе этого сигнала в точку( ). Между координатами и временем имеется специальное соотношение: .

Величина представляет собой квадрат расстояния (интервала) между двумя точками в обычном 3-мерном пространстве. Аналогично можно говорить о расстоянии (интерва-ле)между двумя событиями в 4-пространстве.

Интервалом между двумя событиями в 4-пространстве называют величину, квадрат которой определяется формулой .

Для двух событий, заключающихся в испускании светового сигнала в одной точке и приходе её в другую точку, интервал =0:

Но в силу равноправности систем K и K’ можно написать

Перемножив

,

Естественно предположить, что знак интервала во всех системах отсчета должно быть одинаково. Тогда .

Рассмотрим 2 события, которые происходят в разных точках, но в одно и то же время. Тогда

??????????????????

1.7 Нулевой интервал (светоподобный интервал) - интервал между событиями, равный нулю. В отличие от расстояния между точками в 3-мерном пространстве, которое равно нулю тогда и только тогда, когда точки совпадают, в 4-мерном пространстве-времени нулевой интервал может разделять и не совпадающие точки (события).

Нулевой интервал лежит между событиями, через которые прошёл световой луч, то есть, нулевой интервал лежит между событиями, которые отстоят друг от друга во времени ровно настолько, сколько требуется свету, чтобы пролететь расстояние между событиями.

Точки, которые лежат на нулевом интервале от данной точки, вместе составляют световой конус, построенный для данной точки. Световой конус- для данной точки есть геометрическое (в 4-пространстве) место точек, в которые может попасть свет, испущенный в данной точке, либо свет, испущенный из которых, может попасть в данную точку.

Световой конус представляет собой совокупность 4-точек, лежащих на нулевом интервале от данной точке.

Световой конус представляет собой фигуру в 4-мерном пространстве, поэтому напрямую изобразить его невозможно. Если есть обыкновенный двухмерный лист бумаги, то на нём можно изобразить сечение светового конуса плоскостью, образованной временной осью и одной из пространственных осей. В таком случае получится рисунок, изображённый справа первым.

Вне конуса расположена область относительной одновременности. Абсолютное будущее - область пространства-времени, совокупность его 4-точек, находящаяся внутри светового конуса и в будущем по отношению к данному событию.

Отличительной чертой абсолютного будущего является то, что оно остается будущим при любых преобразованиях координат.

Только те события, которые лежат в абсолютном будущем, могут быть подвергнуты причинному влиянию со стороны данного события.

Абсолютное прошлое - область пространства-времени, совокупность его 4-точек, находящаяся внутри светового конуса и в прошлом по отношению к данному событию.

Отличительной чертой абсолютного прошлого является то, что оно остается прошлым при любых преобразованиях координат.

Только те события, которые лежат в абсолютном прошлом, могли оказать причинное влияние на данное событие.

1. 4-векторы

1) Трёхмерное пространство

Хорошо известно, что наше пространство трёхмерное, т.е. для обозначения местоположения точки достаточно указать 3 координаты: точки x, y, z. ??? координаты удобно обозначать одной и той же буквой, но с различными индексами: . Величины являются компонентами радиус-вектора ,проведенного из начала координат в рассматриваемую точку. Обозначим единичные векторы, нап-равленные вдоль осей через . Тогда

(1)

Пусть имеется другая система координат, начало которой сов-падает с рассматриваемой, но оси не совпадают. Для этой системы

(2)

В силу ортогональности система координат имеет соотношение

0, при ; 1, при (3)

Умножая скалярно обе части (1) на , получим с учётом (3) следующее соотношение для компонент :

( 4)

На основании (1) и (2) можно записать

(5)

Умножая обе части на и учитывая (3), запишем

{(3):слева не равны 0 толь-

ко компоненты с ,т.е.}= (6)

2,2

Введём обозначения для скалярных произведений единичных векторов различных систем координат:

(7)

Тогда (6) можно записать

(8)

Обратное преобразование получится умножением (5) на . Тогда

.

Или с учетом (7):

Таким образом, компоненты радиус-вектора преобразуются при переходе от одной СК к другой по формуле (8),т.е.:

,

,

То совокупность этих трех величин называются трехмерным вектором, а сами величины называются компонентами вектора по соответствующим осям координат .

Из (1) и (2) с учетом (3) следует:

,

Т.е. при преобразованиях сохраняется величина вектора R.

2) Четырехмерный мир

Для полной характеристики события недостаточно указать пространственные координаты этого события, а также указать и время, т.е. событие описывается 4 координатами: x, y, z, t.

Для того, чтобы переход из одной СК в другую описывался (8), удобно в качестве координат использовать:

Тогда преобразование Лоренца запишется в виде:

Т.о., это преобразование примет вид:

(9)

Где коэффициенты

Обратные преобразования аналогично (8) записывают след. образом:

Т.о., в 4-хмерном мире переход от координат мировой точки одной системы отсчета к координатам другой осуществляется с помощью линейных преобразований.

3) 4- вектора

4-хмерным вектором называется совокупность четырех величин , которая от одной СК к другой преобра-зуются по формулам вида (9) с теми же коэффициентами , т.е.

; (11)

,

Где коэффициент определяется (10).

Среди величин могут быть и комплексные.

4-скорость

Обозначим производные от координат мировой точки по собственному времени через , четырёхмерный вектор (12) называют 4-хмерной скоростью.

Учитывая, что ,

Можно компоненты (7) вектора представить в виде:

,

Где - компоненты 3-хмерной скорости; .

Квадрат 4-хмерной скорости равен:

.

Преобразование компонент 4-скорости от данной СК к другой совершается по формулам (11): .

Принимая во внимание (10), получим

(14)

Подставим в (14) (13):

Перепишем первые три уравнения системы с помощью четвертого:

Т.е. получаются формулы сложения скоростей (сем. практ.)

4-ускорение

При дифференцировании компонент 4 меряются вектора скоростей по собственному времени (который является инва-риантом), мы должны снова получить 4-вектор с компонентами

4-вектор называют 4-хмерным ускорением.

Компоненты 4-ускорения можно выразить через 3-хмерные величины:

Выражения для и аналогичны;

где - вектор 3-хмерной скорости.

Рассмотрим два события, которые происходят в одной точке, но в разные моменты времени. Тогда

Вещественный интервал называют временеподобным.

- светоподобный

4. Четырёхвекторы

Кроме радиус-вектора в эвклидовой геометрии есть множество других векторов .

имеет компоненты . При вращении СК все 3 компоненты меняются, смешиваются, но инвариантным остается вектор , т.е. более реален, чем его компоненты. Преобразования Лоренца аналогичны вращению. Нельзя 4-пр-ве найти вектора, кот. Преобразуется как x, y, z, t и длина вектора при этом будет инвариантом.

4-импульс

Найдем вектор импульса в 4-пр-ве. 4-я компонента для вектора называется временной.

В классической механике импульс -3-х мерный вектор , равный произведению массы частицы на 3-х мерную . Аналогично в релятивистской механике 4-хвектор энергии-импульса- производ-ная на 4-хмерную скорость.

Рассмотрим формулу

Интервал:

В двигающейся системе отсчета ,

Рассмотрим частный случай, когда .

остаётся :

;

;

;

;

Согласно преобразованию Лоренца

Если вместо подставить E, а вместо x - , мы получаем преобразование Лоренца для 4-вектора импульса: