Уравнение движения
Алгебра 4-векторов
С 4-мерным вектором можно производить те же действия, что и с 3-хмерными векторами в эвклидовой геометрии.
1) При сложении векторов соответствующие компоненты складываются.
Закон
сохранения импульса: если несколько
частиц , то сум-марный
до столкновения и после не меняются:
В
4-хмерном мире сумма x,
y,
z-
компонент = const,
но определения закона сохранения
импульса является не полным. Должна
сохраняться и компонента
в
пространстве добавляется закон сохранения
энергии.
Вводим обозначения:
Скалярные произведения векторов
- квадрат длины
вектора в 3-хмерном пространстве. Квадрат
длины интервала:
-
скалярное произведение
в системе координат.
Если
движется какой-то объект или частица,
то мы можем выбрать систему, которая
связана с движущимся объектом. В этой
СК объект- частица находится в покое,
;
В системе
Рассмотрим фотон- частицу, движущуюся со скоростью света:
Вывод: масса покоя фотона =0
- эффект Топплера.
Вывод преобразования Лоренца
Введём обозначения Миаковского
Т.
Р характеризуется интервалом
При
вращении системы (y-x)
При
вращении системы (
)
(6.1)
Тогда имеем (6.1) в виде:
;
;
Уравнения движения
Согласно уравнениям Ньютона , производная от импульса по времени- действующая на частицу внешняя сила.
В релятивистском случае не обходимо учесть, что инвариантным остаётся собственное время частицы.
Тогда производная по собственному времени 4-хмерного импульса является 4-хмерной силой.
(1)
В случае заряженной частицы эта сила называется силой Миаковского и (1) имеет вид:
Где
- сила Лоренца.
Поскольку
,
это уравнение примет вид:
(2)
(3)
(2),(3)- релятивистские уравнения движения заряжаемой точечной частицы электромагнитного поля.
Для
скоростей
:
Для
выяснения физического смысла (3) учтём,
что для малых
Тогда
Т.к.
и
.
Т.к.
- смещение частицы, то
,
Т.е. изменение кинетической энергии равно работе сил электрического поля.