Перевірка статистичних гіпотез про закон розподілу випадкової величини

3.1 Мета роботи

Застосування критерію згоди пірсона для перевірки гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності. Вивчити критерії згоди, навчитися перевіряти гіпотези про закон розподілу випадкової величини за допомогою критеріїв Пірсона при аналізі статистичних даних.

Завдання лабораторної роботи.

По вибірковій сукупності B при рівнях значущості (таблиця 6.15) перевірити гіпотезу про нормальний розподіл відповідної генеральної сукупності.

Таблиця 6.15

Варіанти завдань і рівень значущості

Варіанти	Уровень значущості
1 – 12
13 – 24
25 – 36

У загальній постановці задача перевірки статистичних гіпотез про закони розподілу випадкової величини формулюється так.

За результатами спостережень отримана статистична оцінка закону розподілу випадкової величини у вигляді емпіричної функції розподілу . Формулюється статистична гіпотеза , яка полягає в тому, що закон розподілу досліджуваної випадкової величини має вигляд . Для перевірки цієї статистичної гіпотези розглядається статистика критерію U, що характеризує міру неузгодженості між теоретичною (запропонованої по гіпотезі ) і емпіричної функціями розподілу. Обравши статистику критерію, робимо оцінку її закону розподілу і для заданого рівня значимості будуємо критичну область.

Якщо вибіркове значення статистики знаходиться поза критичною областю, то гіпотеза, що перевіряється, приймається, якщо ж статистика належить критичні області, то гіпотеза про закон розподілу випадкової величини відхиляється.

При використанні критерію Пірсона за міру неузгодженості U гіпотетичного й емпіричного розподілів приймається величина , обчислена за такою формулою:

, (3.1)

де k – число інтервалів; – частота влучення в інтервал i; – ймовірність попадання випадкової величини в інтервал i, обчислена по гіпотетичному розподілу з заміною невідомих параметрів розподілу їхніми оцінками; n – об’єм вибірки.

Для нормального закону розподілу ймовірність влучення випадкової величини в інтервал визначається так:

, (3.2)

де – функція Лапласа, значення якої наведені в табл. В.1.

3.2 Порядок виконання роботи

У таблиці 6.16 наведені значення елементів вибіркової сукупності B, об'єм якої дорівнює одиниць.

Таблиця 6.16

Вибіркова сукупність b

67	70	64	71	71	73	69	73	72	75
73	80	69	66	66	81	75	62	65	73
69	70	69	73	74	75	71	74	69	72
71	75	71	67	73	75	65	78	72	75
74	76	67	80	71	70	70	70	64	62
71	65	69	70	70	65	77	69	77	74
71	80	71	65	67	70	72	79	67	60
73	71	71	71	66	74	69	68	69	64
68	72	69	67	68	80	70	75	68	62
68	72	66	69	73	69	66	69	75	64

Для емпіричного розподілу при рівнях значущості , перевіримо гіпотезу про нормальний розподіл відповідної генеральної сукупності за допомогою критерію .

По вигляду гістограми частот розподілу (рис. 6.8) можна припустити нормальний закон розподілу генеральної сукупності .

Рис. 6.8. Гістограма розподілу частот вибіркової сукупності B

Параметри нормального закону й , які є, відповідно, математичним сподіванням і стандартним відхиленням випадкової величини невідомі. Тому заміняємо їх оцінками по вибірці – вибірковою середньою й виправленим вибірковим середнім квадратичним відхиленням .

Для розрахунку ймовірностей , влучення випадкової величини в інтервал використовуємо інтегральну функцію Лапласа у відповідності із властивістю нормального розподілу:

. (6.1)

Позначивши через , , запишемо формулу (6.1) у вигляді

(6.2)

Для обчислення теоретичних частот , побудуємо таблицю.

Таблиця 6.23