- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Исследование одной краевой задачи на графе для струнной системы с циклом
- •010109 – Функциональный анализ
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории краевых задач на графах
- •2. Постановка краевой задачи.
- •3. Невырожденность.
- •Построение функции Грина задачи.
- •Решение дифференциального неравенства .
3. Невырожденность.
Рассмотрим неоднородную задачу (2.1) – (2.7).
По левым частям равенств (2.1) – (2.6) построим функционалы ,
По левой части равенства (2.7) построим дифференциальный оператор:
Тогда неоднородная задача (2.1) – (2.7) сводится к задаче:
, . (3.1)
А однородная задача (2.1) – (2.7’) к задаче:
, . (3.2)
Теорема 2. (Условие невырождености).
Задача (3.1) для имеет только тривиальное реше- ние.
Доказательство.
Так как на , , то ,
В частности на имеем
Возможны 3 случая: , , .
Если
Из следует, что функция возрастает от точки до , и так как , то на . Тогда .
Из условия непрерывности (2.3) имеем: .
Из условия (2.5) получим,
= , что равносильно равенству:
Из следует, что функция возрастает от точки до , и так как , то на . Тогда, , что из условия непрерывности (4) имеем: .
Из условия (2.6) получим:
= , что равносильно равенству: .
Из следует, что функция возрастает от точки до , и так как , то на . Тогда, , что противоречит (2.2). Следовательно случай невозможен.
Аналогично, при так же придем к противоречию (2.2)
Если .
Из следует, что функция , и так как , то на . Следовательно, .
Из условия непрерывности (2.3) и условия (2.5), имеем:
= .
Тогда , и ,а это означает, что на . Следовательно, , что по условию непрерывности (2.4) означает: .
Из равенства (2.6) имеем,
= .
Тогда , и ,а это означает, что на .
Итак, из трех рассмотренных случаев возможен только один:
, при котором на , .
Итак, на Г.
Построение функции Грина задачи.
Если задача (2.1) – (2.7) невырождена (т.е. имеет единственное решение) на Г, то ее решение для функции , и любой может быть представлено в виде:
. (4.1)
Определение.
Функцией Грина на отрезке называют функцию двух переменных и , при каждом фиксированном из отрезка, обладающую свойствами:
1. при удовлетворяет по однородному дифференциальному уравнению;
2. при удовлетворяет по краевым условиям;
3. при непрерывна по , т.е.
,
(для уравнения порядка )
4. при имеет скачек, т.е.
,
(где - коэффициент при старшей производной дифференциального уравнения порядка ).
Функцию Грина задачи (2.1) - (2.7) на графе можно построить по формуле:
(4.2)
где - фундаментальная система решений однородного уравнения .
(4.3)
Положим в задаче (2.1) - (2.7) .
Функцию можно построить по функциям Грина двухточечных задач (задач на отрезках) на :
(4.4)
где - функция Грина двухточечной краевой задачи на отрезке :
на ,
, (4.5)
, , ( )
Согласно определению функции Грина на отрезке, она должна удовлетворять однородному уравнению, поэтому найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения : , .
По левым частям краевых условий (2.16) построим функционалы: , .
Так как функция Грина должна удовлетворять краевым условиям, то
,
, . (4.6)
Функцию Грина задачи (4.5) будем искать в виде:
,
где по равенствам (4.6) можно найти ,
функция - какое-либо решение неоднородного уравнения задачи (4.5), которое может быть найдено, например, с помощью функции Коши:
.
Итак
, .
Построим на :
Аналогично строим и :
,
Построим по формуле (4.3):
,
Тогда функция Грина задачи (2.1) - (2.7) определяемая по формуле (4.2), имеет вид:
,
где ,
H(x,s) определяется по формуле (4.4).