Размах вариации (r)

Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значениями признака

Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.

Пример

Опыт работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2,3,4,7 и 9 лет. Решение: размах вариации = 9 — 2 = 7 лет.

Относительные показатели вариации включают:

• Коэффициент осцилляции 

• Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент варианции) 

• Коэффициент вариации (относительное отклонение) 

Сравнение вариации нескольких совокупностей по одному и тому же признаку, а тем более по различным признакам с помощью абсолютных показателей не представляется возможным. В этих случаях для сравнительной оценки степени различия строят относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношения абсолютных показателей вариации к средней:

Коэффициент осцилляции
Относительное линейное отклонение
Коэффициент вариации

11. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние  — в теории вероятностей и статистикенаиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Основные сведения

Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Среднеквадратическое отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Среднеквадратическое отклонение:

Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии):

где   — дисперсия;   — i-й элемент выборки;   — объём выборки;   — среднее арифметическое выборки:

12. Свойства дисперсии. Вариация альтернативного признака.

Для его понимания необходимо знать следующие свойства дисперсии:  Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.  Свойство 2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину A не меняет величины дисперсии  . Значит, средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по отклонениям их от какого-либо постоянного числа.  Свойство 3. Уменьшение всех значений признака в K раз уменьшает дисперсию в K² раз, а среднее квадратическое отклонение в K раз  . Значит, все значения признака можно разделить на какое-то постоянное число, например, на величину интервала ряда, исчислить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число:  .  Свойство 4. Если вычислить средний квадрат отклонений от любой величины A, в той или иной степени отличающейся от средней арифметической (), то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, вычисленного от средней арифметической  . Средний квадрат отклонений при этом будет больше на величину ( – A)² :  . 

13. Виды дисперсий.

Дисперсия - мера рассеивания случайных величин, измеряемая квадратом отклонения от среднего значения.

Виды дисперсий:

Межгрупповая дисперсия:

где  _i - групповые средние;   - общая средняя.

Дисперсионный анализ

Общая дисперсия

Общая дисперсия вычисляется по формуле:

  или 

где  ; 

Факториальная дисперсия

Факториальная дисперсия:

где m - число групп;  f_i - число единиц наблюдения в группе.

Остаточная дисперсия

Остаточная дисперсия (дисперсия остаточных величин):

  или 

где σ _i ² - групповые дисперсии;  ∑f_i - общее число единиц наблюдения;  n - численность выборки.

14. Правила сложения дисперсий.

Выводы о степени взаимосвязи базируются на анализе вариации результативного признака. При этом применяется правило сложения дисперсий:

- общая дисперсия;

- средняя из внутригрупповых дисперсий;

- межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию.

Межгрупповая дисперсия отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена воздействием факторного признака. Это воздействие проявляется в отклонении групповых средних от общей средней:

где           - среднее значение результативного признака по i-ой группе;

- общая средняя по совокупности в целом;

- объем (численность) i-ой группы.

Если факторный признак, по которому производится группировка, не оказывает никакого влияния на результативный признак, то групповые средние будут равны между собой и совпадут с общей средней. В этом случае межгрупповая средняя будет равна нулю.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и независящую от признака фактора, положенного в основание группировки.

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка:

где           - дисперсия результативного признака в i-ой группе;

- объем (численность) i-ой группы;

Эмпирический коэффициент детерминации представляет собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии.

Теснота связи между факторным и результативным признаком оценивается на основе эмпирического корреляционного отношения:

15. Понятие и классификация индексов.

Индекс — это обобщающий относительный показатель, характеризующий изменение уровня общественного явления во времени, по сравнению с программой развития, планом, прогнозом или его соотношение в пространстве.

Наиболее распространена сравнительная характеристика во времени. В этом случае индексы выступают как относительные величины динамики. Индексный метод является также важнейшим аналитическим средством выявления связей между явлениями. При этом применяются уже не отдельные индексы, а их системы. В статистической практике индексы применяются при анализе развития всех отраслей экономики, на всех этапах экономической работы. В условиях рыночной экономики особенно возросла роль индексов цен, доходов населения, фондового рынка и территориальных индексов.