Вариант 1
Задача 1. Номер машины содержит 5 цифр (исключается только 00000). Найти вероятность того, что в номере встречаются ровно 3 цифры "6", причем расположены они подряд.
Задача 2.Из 40 экзаменационных вопросов 20 были то теме "Интеграл", 15 по дифференциальным уравнениям и 5 по числовым рядам. Студент знает ответ на 15 вопросов первого раздела, 10 – второго и 5 – третьего. Найти вероятность того, что студент ответит на выбранный наугад вопрос.
Задача 3. Дана плотность распределения р(х) непрерывной случайной величины . Найти: а) параметр с;
б) математическое ожидание М;
в) дисперсию D; среднеквадратическое отклонение ;
г) функцию распределения F(х); построить ее график;
д) вероятность попадания в промежуток [a; b) P{a < b}.
Задача 4. Известны М и D случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке [a; b]. Найти плотность р(х), функцию распределения F(x), построить ее графики. Найти P{c1 < < c2}.
М = 4, D = 3, с1 = 0, с2 = 4.
Задача 5. Для схемы Бернулли (n – число испытаний, р – вероятность успеха в одном испытании) определить вероятность осуществления события {k1<k<k2}, где k – количество успехов, пользуясь теоремой Муавра – Лапласа:
n = 5000, p = 1/2, k1 = 1200, k2 = 1350.
Задача 6. Система случайных величин (; ) имеет совместную плотность f(x;y). Найти с, плотности f(x), f(y) и коэффициент корреляции.
Задача 7. По результатам наблюдений случайной величины составлен дискретный вариационный ряд (xi – элементы выборки, ni – частоты).
1. Найти объем выборки и ее размах.
2.Составить интервальный вариационный ряд.
3. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.
4. Найти точечные оценки медианы, математического ожидания и дисперсии (смещенную и несмещенную).
5. Считая, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с доверительной вероятностью 1- .
6. С помощью критерия 2 проверить при уровне значимости 1 гипотезу про нормальное распределение генеральной совокупности.
xi |
8,6 |
8,8 |
9 |
9,4 |
9,6 |
10 |
10,2 |
10,6 |
= 0,1 |
ni |
1 |
3 |
6 |
5 |
6 |
5 |
2 |
2 |
1 = 0,01 |
Вариант 2
Задача 1. Из колоды в 36 карт наугад взяли 6 карт. Найти вероятность того, что из них не меньше двух – тузы.
Задача 2. В киоске 25 пакетов апельсинового сока, из них в 20 пакетах сок высшего сорта; 20 пакетов виноградного сока, из них 18 – высшего сорта и 35 пакетов яблочного сока, среди которых 30 – высшего сорта. Найти вероятность того, что во взятом наугад пакете окажется сок высшего сорта.
Задача 3. Дана плотность распределения р(х) непрерывной случайной величины . Найти: а) параметр с;
б) математическое ожидание М;
в) дисперсию D; среднеквадратическое отклонение ;
г) функцию распределения F(х); построить ее график;
д) вероятность попадания в промежуток [a; b) P{a < b}.
Задача 4. Известны М и D случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке [a; b]. Найти плотность р(х), функцию распределения F(x), построить ее графики. Найти P{c1 < < c2}.
М = 5, D = 3, с1 = 0, с2 = 4.
Задача 5. Для схемы Бернулли (n – число испытаний, р – вероятность успеха в одном испытании) определить вероятность осуществления события {k1<k<k2}, где k – количество успехов, пользуясь теоремой Муавра – Лапласа:
n = 16200, p = 2/3, k1 = 10700, k2 = 10950.
Задача 6. Система случайных величин (; ) имеет совместную плотность f(x;y). Найти с, плотности f(x), f(y) и коэффициент корреляции.
Задача 7. По результатам наблюдений случайной величины составлен дискретный вариационный ряд (xi – элементы выборки, ni – частоты).
1. Найти объем выборки и ее размах.
2.Составить интервальный вариационный ряд.
3. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.
4. Найти точечные оценки медианы, математического ожидания и дисперсии (смещенную и несмещенную).
5. Считая, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с доверительной вероятностью 1- .
6. С помощью критерия 2 проверить при уровне значимости 1 гипотезу про нормальное распределение генеральной совокупности.
xi |
8 |
8,6 |
8,8 |
9,2 |
9,8 |
10,2 |
10,8 |
11 |
= 0,2 |
ni |
2 |
3 |
2 |
6 |
7 |
5 |
2 |
3 |
1 = 0,01 |