Понятие матрицы
Матрицей называют прямоугольную таблицу чисел. Те числа и которых составлена матрица называют элементами матрицы. Как правило, матрицы обозначают заглавными буквами латинского алфавита. Их элементы обозначают аналогично маленькими буквами и каждый из элементов снабжают двумя номерами. Первый из которых, есть номер строки, а второй номер столбца, на пересечении которых располагается рассматриваемый элемент.
По матрице имеющей m строк и n столбцов говорят, что она имеет размер mxn.
Тот факт что A является матрицей размером mxn условимся обозначать так: АϵMmxn (|R)
Некоторые специальные матрицы
1) Матрица А называется квадратной если число строк совпадает с числом столбцов m=n. Запись: АϵMmxn (|R) сокращается до: АϵMn (|R)
Число n будем называть порядком квадратной матрицы.
Главной диагональю квадратной матрицы называют набор чисел а11, а22, аnn
2) Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Обозначается: 0
3) Квадратная матрица называется ниже(выше) треугольной, если все ее элементы лежащие выше(нижу главной диагонали равны 0
Термином треугольная матрица объединяются понятия и верхне треугольной матрицы и нижне треугольной матрицы.
4) Квадратная матрица называется диагональной, если она является и верхне треугольной и нижне треугольной. Таким образом, у диагональной матрицы могут быть отличными от нуля только элементы главной диагонали.
5) Диагональная матрица
у которой каждый элемент главной
диагонали равен 1 называется единичной
матрицей. Обозначается Еn
. Примеры:
;
1 ;
Операции над матрицами
1) Сложение
Пусть АϵMmxn (|R) и ВϵMmxn (|R) одного и того же размера.
Суммой матриц А и В называют матрицу А+В тех же размеров каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов матриц.
Принцип равенства матриц.
Говорят что две матрицы равны если они имеют одинаковые размеры и соответствующие элементы матриц совпадают.
Свойства
А) Перестановочная (коммутативная) А+В=В+А
Б) Сочетательная (ассоциативная) (А+В)+С=А+(В+С)
В) Существует нейтральный по сложению элемент А+0=А
Г) Существует противоположный по сложению элемент
∀ АϵMmxn (|R) ∃(-А)ϵMmxn (|R): А+(-А)=0
В качестве противоположного элемента достаточно взять матрицу тех же размеров что и А, каждый элемент которого отличается знаком от соответствующего.
2)Умножение
Пусть АϵMmxn (|R), λϵ|R
Произведение матрицы А на число λ называют матрицу λА тех же размеров что и матрица А, каждый элемент которой, есть произведение соответствующего элемента А на число λ
Свойства:
1) Умножение матрицы на число распределительно (дистрибутивна) относительно сложения матриц.
λϵ|R; A,B ϵ Mmxn (|R) : λ(A+B)=λA+λB
2) Умножение матрицы на число распределительно (дистрибутивна) относительно слежения чисел.
λ,μ ϵ |R; АϵMmxn (|R) : (λ+μ)A=λA+μA
3) Существует нейтральный по умножению на число элемент
Λ=1 : 1*А=А, ∀ АϵMmxn (|R)
4) Каковы бы небыли числа λ,μ ϵ |R; АϵMmxn (|R) имеет место равенство: (λμ)А=λ(μА)
Замечания:
Операции сложения и умножения на число называют линейными операциями. Свойства сложения и умножения называют свойствами линейных операций.