Оглавление

Понятие матрицы 2

Некоторые специальные матрицы 2

Операции над матрицами 3

Арифметические векторы 4

Умножение матриц 5

Понятие об обратной матрице 6

Разложение матриц в произведение простейших. 7

Первый критерий обратимости матрицы 10

Второй критерий обратимости матрицы 10

Третий критерий обратимости матрицы 11

Определение и классификация систем линейных алгебраических уравнений 12

Матричная форма записи системы линейных алгебраических уравнений 13

Решение квадратных СЛАУ с обратимой основной матрицей. 14

Исследование СЛАУ 15

Метод Гаусса 15

Теорема Кронекер-Капелли 16

Обобщенный метод Гауса 16

Подстановки и перестановки n-степени 17

Определение определителя 17

Определители второго порядка 18

Определители третьего порядка 18

Правило треугольника вычисления определителя 3-го порядка 18

Правило Саррюса 18

Свойство определителя 18

Выражденная и невыражденная матрица 20

Вычисление определителей произвольных порядков 20

Миноры и алгебраические дополнения 20

Теорема Лапласа 20

Следствие из теоремы Лапласа 21

Формулы Крамера 22

Теорема Крамера 22

Теорема Гамельтон-Кэлли 23

Матрицы Понятие матрицы

Матрицей называют прямоугольную таблицу чисел. Те числа и которых составлена матрица называют элементами матрицы. Как правило, матрицы обозначают заглавными буквами латинского алфавита. Их элементы обозначают аналогично маленькими буквами и каждый из элементов снабжают двумя номерами. Первый из которых, есть номер строки, а второй номер столбца, на пересечении которых располагается рассматриваемый элемент.

По матрице имеющей m строк и n столбцов говорят, что она имеет размер mxn.

Тот факт что A является матрицей размером mxn условимся обозначать так: АϵM_mxn (|R)

Некоторые специальные матрицы

1) Матрица А называется квадратной если число строк совпадает с числом столбцов m=n. Запись: АϵM_mxn (|R) сокращается до: АϵM_n (|R)

Число n будем называть порядком квадратной матрицы.

Главной диагональю квадратной матрицы называют набор чисел а₁₁, а₂₂, а_nn

2) Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Обозначается: 0

3) Квадратная матрица называется ниже(выше) треугольной, если все ее элементы лежащие выше(нижу главной диагонали равны 0

Термином треугольная матрица объединяются понятия и верхне треугольной матрицы и нижне треугольной матрицы.

4) Квадратная матрица называется диагональной, если она является и верхне треугольной и нижне треугольной. Таким образом, у диагональной матрицы могут быть отличными от нуля только элементы главной диагонали.

5) Диагональная матрица у которой каждый элемент главной диагонали равен 1 называется единичной матрицей. Обозначается Е_n . Примеры: ; 1 ;

Операции над матрицами

1) Сложение

Пусть АϵM_mxn (|R) и ВϵM_mxn (|R) одного и того же размера.

Суммой матриц А и В называют матрицу А+В тех же размеров каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов матриц.

Принцип равенства матриц.

Говорят что две матрицы равны если они имеют одинаковые размеры и соответствующие элементы матриц совпадают.

Свойства:

А) Перестановочная (коммутативная) А+В=В+А

Б) Сочетательная (ассоциативная) (А+В)+С=А+(В+С)

В) Существует нейтральный по сложению элемент А+0=А

Г) Существует противоположный по сложению элемент

∀ АϵM_mxn (|R) ∃(-А)ϵM_mxn (|R): А+(-А)=0

В качестве противоположного элемента достаточно взять матрицу тех же размеров что и А, каждый элемент которого отличается знаком от соответствующего.

2)Умножение

Пусть АϵM_mxn (|R), λϵ|R

Произведение матрицы А на число λ называют матрицу λА тех же размеров что и матрица А, каждый элемент которой, есть произведение соответствующего элемента А на число λ

Свойства:

1) Умножение матрицы на число распределительно (дистрибутивна) относительно сложения матриц.

λϵ|R; A,B ϵ M_mxn (|R) : λ(A+B)=λA+λB

2) Умножение матрицы на число распределительно (дистрибутивна) относительно слежения чисел.

λ,μ ϵ |R; АϵM_mxn (|R) : (λ+μ)A=λA+μA

3) Существует нейтральный по умножению на число элемент

λ =1 : 1*А=А, ∀ АϵM_mxn (|R)

4) Каковы бы небыли числа λ,μ ϵ |R; АϵM_mxn (|R) имеет место равенство: (λμ)А=λ(μА)

Замечания:

Операции сложения и умножения на число называют линейными операциями. Свойства сложения и умножения называют свойствами линейных операций.