Решение.
Изгибающий момент от заданной нагрузки в текущем сечении Mz(x)= – qx2/2.
При нагружении единичной силой в среднем сечении балка будет иметь два, участка, причем на первом Mz1(x)=0, а на втором Mz1(x)= – 1 (x-l). Искомый прогиб в середине балки
.
Для определения угла поворота торцевого сечения приложим в этом сечении единичный момент. Тогда Mz1(x)=1, искомый угол поворота торца балки
.
Следовательно, торцевое сечение поворачивается не в направлении вращения единичной пары (см. рис.), а в противоположную сторону - по часовой стрелке.
.
Пример 13.
Определить прогиб балки, изображенной на рисунке. Жесткость балки на изгиб – EI.
Решение.
Определяем опорные реакции RA
и RB:
тогда RA
= RB
= m/l.
Балка состоит из одного участка. Составляем уравнение упругой оси балки:
а затем его интегрируем:
(1)
Для определения постоянных интегрирования С и D поставим граничные условия: при х = 0 имеем у = 0 и при х = l также имеем у = 0, т.е. получаем у(х = 0) = D = 0, откуда D = 0, далее
,
откуда находим С = –ml/(3EI).
Подставляя полученное значение С в формулы (1), окончательно запишем результаты:
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Получить уравнение изгиба упругой оси консольной балки после деформации. Балка представлена на рисунке, жесткость балки на изгиб постоянна (EI = const).
Ответ: y = –mx2/(2EI), = –mx/(EI).
Задача № 2
Получить уравнение изгиба упругой оси консольной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 1). Определить максимальный прогиб балки.
Определить максимальный прогиб консольной балки, нагруженной сосредоточенным моментом m. Жесткость балки на изгиб равна EI. Определить также угол поворота оси балки в точке В (рис. 2).
Получить уравнение изгиба упругой оси однопролетной балки, показанной на рис. 3. Жесткость балки на изгиб EI считать постоянной по всей длине.
Ответ к рис.1: y = q(4x3l –x4 – 6l2x2)/(24EI); yB,max = –ql 4/(8EI).
Ответ к рис.2:
yB,max
= –3ml2/(2EI);
=
–ml/(EI).
Ответ к рис.3:
Задача № 3
Получить уравнение изгиба упругой оси консольной балки с постоянной жесткостью на изгиб EI. Балка и действующая на нее нагрузка изображены на рисунке. Определить прогиб в точке А.
Ответ: yI = qbx2(6a + 3b –2x)/(12EI),
yII = q[a4 – 4a3x + 6(a + b)2x2 – 4(a + b)x3 + x4]/(24EI);
yI,A = yII,A = qa2b(4a + 3b)/(12EI).
Задача № 4
Определить максимальный прогиб однопролетной балки, нагруженной посередине пролета сосредоточенной силой F (см. рис.).
Ответ: yB = –Fl3/(48EIz); Iz = bh3/12.
Задача № 5
Определить максимальный прогиб консольной балки круглого поперечного сечения диаметром d. Внешняя нагрузка показана на рисунке.
Ответ:
Задача № 6
Определить максимальный прогиб в однопролетной балке, показанной на рис. 1. Жесткость балки на изгиб – EIz.
Записать уравнения изгиба упругой оси однопролетной балки, представленной на рис. 2. Балка имеет постоянную жесткость на изгиб EIz.
Записать уравнения изгиба упругой оси консольной балки с постоянной жесткостью на изгиб EI. На балку действует сосредоточенная сила F. Определить угол поворота поперечного сечения на участке II (рис. 3).
Ответ к рис.1: y(x = l/2) = –13ql4/(384EIz).
Ответ к рис.2:
Ответ к рис.3:
Задача № 7
Получить уравнения изгиба упругой оси балки для каждого из ее трех участков. Балка – постоянной жесткости на изгиб EI (см. рис.).
Ответ:
Задача № 17
Определить допускаемый пролет l однопролетной балки (см. рис.) из условия жесткости. При расчете принять F = 165 кН, высота балки h = 2b = 20 см, материал балки – сталь С285, предельный относительный прогиб [1/no] = 1/250.
Определить максимальное нормальное напряжение.
Ответ: l =
4 м;
=
247,5 МПа <280 МПа = Ry.
Задача № 20
Определить прогибы в точках обозначенных
буквой А, а также угол поворота
сечений, обозначенных буквой В, если
Е = 2
МПа.
|
Схема балки |
J в см4 |
Ответ: |
|
yA в см |
|
|||
а |
|
1600 |
-1,6 |
-0,0107 |
б |
|
4000 |
-1,237 |
-0,00769 |
в |
|
2000 |
-0,5 |
+0,00333 |
г |
|
2500 |
-0,96 |
+0,0096 |
д |
|
3000 |
+1,611 |
+0,0164 |
е |
|
3500 |
+0,667 |
-0,0076 |
ж |
|
2500 |
-0,333 |
-0,00133 |
з |
|
2500 |
+0,5 |
-0,04 |
e-mail: KarimovI@rambler.ru
Башкирский государственный аграрный университет
Кафедра теоретической и прикладной механики 450001, г.Уфа, ул.50 лет Октября, д.34, корпус №3, ком.279/3
|
