Лабораторная Работа № 5
''Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов.''
При анализе эмпирических данных часто возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость x и y, которые получены в результате измерений.
Пусть, например, функция задана в виде (xi , yi), I = 1, 2, …, n. Задача состоит в аппроксимации известной функциональной зависимости между x и y заданной степени
k:
Pk(x)
=
J
*
xj
. Для
решения этой методу коэффициенты
многочлена нужно выбрать такими, чтобы
сумма квадратов отклонений найденного
многочлена от заданных значений функции
была минимальной, т.е. коэффициенты р0,
р1,
…, рк должны
минимизировать функцию Ф(р0,
р1,
…, рк )
=
(pk(xj-yj))2
=
(
jxj
- yi)2
В точке минимума функции Ф и приравнивая нулю производные, получим так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов:
j(
xj+m)
yixm
m= 0,1,2, …, n.
Эта система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных р0, р1 , …, рn. Определить этой системы от нуля, т.е. решение существует и единственно. На практике эту методику применяют только для нахождения многочленов, степень которых не выше четырех-пяти.
В данной лабораторной работе заданную табличную функцию требуется аппроксимировать многочленом первой (линейной функцией) и второй степенями: т.е. Р1(х) = р0 + р1х и Р2(х) = р0 + р1х + р2х2.
Лабораторная Работа № 5
Программа для вычисления, путем "метода наименьших квадратов"
05 PRINT "LINEYNAY REGRESSIY"
10 INPUT "VVEDITE N ="; N
20 A=0: B=0: C=0: D=0
30 PRINT "VVEDITE X(I), Y(I)"
40 FOR I=1 TO N : PRINT "I="; I
50 INPUT "X(I)=";X : INPUT "Y(I)="; Y
60 A = A + X: B = B + Y: C = C + X^2
70 D = D = X*Y : NEXT I
80 B1 = (A*B – N*D)/(A^2 – N*C)
90 B0 = (B – B1 * A)/N
100 PRINT B0, B1
END
вывод программы:
I = 1
X(I) = .1
Y (I) = 2.05
I = 2
X(I) = .2
Y (I) = 1.94
I = 3
X(I) = .3
Y (I) = 1.92
I = 4
X(I) = .4
Y (I) = 1.87
I = 5
X(I) = .5
Y (I) = 1.77
I = 6
X(I) = .6
Y (I) = 1.88
I = 7
X(I) = .7
Y (I) = 1.71
I = 8
X(I) = .8
Y (I) = 1.60
I = 9
X(I) = .9
Y (I) = 1.56
I = 10
X(I) = 1.
Y (I) = 1.4
2.119333 -6.351514