2. Простое алгебраическое расширение поля.

Пусть теперь дано произвольное числовое множество M. Очевидно, всегда найдутся числовые поля, которые содержат все числа множества M, например, поле комплексных чисел.

Минимальным полем , содержащим данное числовое множество M, называется поле, являющееся пересечением всех числовых полей, которые содержат множество M.

П р и м е р ы: 1. Пусть множество M состоит из одного числа 1. Тогда каждое числовое поле содержит это множество. Минимальным полем, которое содержит это число, есть, очевидно, поле Q рациональных чисел. Действительно, поле Q принадлежит всем числовым полям. С другой стороны, никакое иррациональное число не может принадлежать всем числовым полям, так как оно не принадлежит хотя бы числовому полю Q. Отметим, что Q естественно назвать минимальным числовым полем.

2. Рассмотрим минимальное поле, которое содержит число . Очевидно, оно является полем Q( ) чисел вида , где a, b  произвольные рациональные числа. Действительно, это числовое множество образует поле, которое, очевидно, содержит и число .

С другой стороны, любое другое поле P, которое содержит , должно содержать и все поле Q( ), так как вместе с рациональными числами и числом в P должны входить и все числа , которые получаются в результате сложения и умножения указанных чисел.

Пусть некоторое числовое поле и число, которое не принадлежит этому полю . Рассмотрим минимальное поле , которое содержит и поле и число . Очевидно, является расширением поля , причем минимальным расширением, которое содержит число . Действительно, всякое расширение поля , которое содержит , по определению минимального поля будет содержать и поле . Такое минимальное расширение поля , которое содержит , называется также расширением поля , образованным присоединением к полю числа и обозначается . Аналогично можно рассматривать расширение , образованное присоединением к полю нескольких чисел , т.е. минимальное поле , содержащее как , так и числа . Расширение, образованное присоединение одного числа, называют п р о с т ы м.

Таким образом, простое алгебраическое расширение, относительно числовых полей, определяется так.

Определение 3. Поле , образованное присоединениям к полю числа , алгебраического относительно поля , называется простым алгебраическим расширением поля .

Структура простого алгебраического расширения характеризуется следующей теоремой.

Теорема 1. Поле , образованное из поля присоединением корня неприводимого над полем многочлена n-й степени

состоит из всех чисел вида

, (2)

где произвольные числа из поля .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего покажем, что числа вида (2) образуют поле. То, что сумма и разность чисел (2) оказываются числами тот же самого вида, очевидно. Рассмотрим произведение и частное таких чисел. Число вида (2) можно рассматривать как результат подстановки вместо x в некоторый многочлен над полем , который не выше -й степени, т.е. .

Пусть имеем два таких числа , . Но тогда произведение , где  многочлен, степень которого уже может превышать . Поделим на с остатком. Имеем

, (3)

где степень остатка r(x) меньше степени многочлена , т.е. не превышает . Подставляя в тождество (3), имеем , т.е. . Другими словами, произведение чисел и есть число вида (2), так как многочлен, степень которого не превышает .

Перейдем к рассмотрению частного. Достаточно показать, что для любого числа вида (2) число тоже будет иметь вид (2). Поскольку неприводимый над полем многочлен, то многочлен или взаимно простой с , или делится на . Однако последнее невозможно, так как степень меньше чем степень , и потому .

Для взаимно простых многочленов, как известно, справедлива теорема о том, что существует единственная пара многочленов и таких, что удовлетворяется тождество . Полагая здесь, что и учитывая, что , получим , т.е. . Следовательно, . Если многочлен имеет степень меньше n, то утверждение доказано. Если же степень многочлена больше или равняется n, то выполним деление на с остатком, т.е. в этом случае положим, что , откуда в соответствии с теоремой Виета имеем и степень меньше n. Тем самым тоже оказывается числом вида (2).

Итак, числа вида (2) действительно образуют поле. Обозначим его . Остается доказать, что . Но это так, поскольку поле содержит как поле , так и число , а значит оно содержит и поле , которое по определению является минимальным полем с такими свойствами, т.е. . С другой стороны, всякое поле, которое содержит и , должно содержать и числа вида (2), которые образуются из чисел поля и числа с помощью операций умножения и сложения. Следовательно, . Из двух найденных соотношений вытекает, что .