Медиана.

Медиана – определяет значение признака у средней единицы ранжированного ряда.

Для нахождения медианы (значения признака у средней единицы ранжированного ряда) сначала определяется ее порядковый номер ((∑f)/2), а затем по накопленным частотам определяется либо сама медиана (для дискретных рядов), либо медианный интервал (для интервальных рядов), в котором путем простой интерполяции рассчитывается значение медианы по формуле:

(2.3.4.)

- начало модального интервала;

h – шаг интервала;

- накопленные частоты предшествующего интервала;

Определяем порядковый номер медианы: (2.3.5.)

Берем интервал 1167,1 – 4153,8

По данным таблицы 2 рассчитываем медиану:

тыс.т.

Медиану можно определить графически, для этого строится кумулята.

Рисунок 9. Кумулята.

Вывод: Половина перевезенного груза имеет объем меньше, чем 4153,8 тыс.т., а половина больше.

[1 с.8-11]

4. Показатели вариации

Вариация – различие в числовых значениях признака.

По размерам вариации определяется ее однородность, т.е. однородность совокупности.

В показателях рассчитывается отклонение значения признака от средней величины. В отклонениях проявляется развитие явления.

Среднее линейное отклонение – определяет насколько единиц в среднем индивидуальные значения признака отличаются от среднего арифметического.

_(2.4.1.)

_{Таблица 11 (продолжение табл.2)}

_{Данные для расчета показателей вариации}

2538,27 1045,17 447,93 1941,03 3434,13	12691,35 5225,85 1791,72 5823,09 10302,39	6442814,59 1092380,33 200641,28 3767597,46 11793248,86	32214072,95 5461901,65 802565,12 11302792,38 35379746,58
	35834,4	23296682,52	85161078,68

_{По данным таблицы 10 рассчитываем среднее линейное отклонение:}

тыс.т.

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической.

(2.4.2.)

По данным таблицы 10 рассчитываем дисперсию:

Среднее квадратическое отклонение – определяет то же самое, что и среднее линейное отклонение, но значение среднего квадратического отклонения всегда больше, чем значения среднего линейного, т.к. более четко реагирует вариацию признаков.

S = (2.4.3)

_{По данным таблицы 10 рассчитываем среднее квадратическое отклонение:}

S = тыс.т.

Вывод: На 2063,5тыс.т. в среднем значение признака, т.е. объем перевезенного груза отличается от среднего арифметического.

Коэффициент вариации – является критерием однородности совокупности и надежности средней арифметической.

• Если коэффициент вариации меньше 33%, то совокупность однородна, и среднее арифметическое выбрано надежно.

• Если он больше 33%, то совокупность не однородна, среднее арифметическое не надежно.

(2.4.4.)

Вывод: Совокупность неоднородна, т.к. V> 33%

[1 с.12-13]

5. Корреляционно-регрессионный анализ

Аналитическая группировка статистических наблюдений на транспорте.

Определяем тесноту связи между фактором (среднесписочная численность на АТП) и результирующим показателем (объемами перевезенных грузов).

Таблица 12 (продолжение таблицы 1)

Аналитическая группировка статистических наблюдений.

x	y
2153,0	4756,5	720,83	223,9	161363,885	519588,68	50113,3	6471,655	-1715,16	0,36
1768,0	5321,4	336,53	788,8	265437,459	113249,08	622142,3	5437,888	-116,49	0,02
690,9	1167,6	-740,78	-3365	2492737,506	548747,60	11323494,2	2539,951	-1372,35	1,18
865,2	2984,1	-566,48	-1549	877209,196	320893,93	2397976,1	3008,818	-24,72	0,01
1586,0	6594,0	153,83	2061,4	317088,702	23662,13	4249205,1	4946,425	1647,58	0,25
1449,0	5533,5	17,33	1000,9	17339,900	300,16	1001720,8	4579,240	954,26	0,17
1932,0	5621,7	500,33	1089	544883,945	250325,11	1186051,7	5878,510	-256,81	0,05
1138,0	3767,4	-293,48	-765,2	224578,809	86127,58	585592,3	3743,188	24,21	0,01
1940,0	8633,1	508,73	4100,5	2086006,514	258801,13	16813772,2	5901,106	2732,10	0,32
1512,0	7408,8	80,33	2876,2	231027,552	6452,11	8272296,4	4748,710	2660,09	0,36
1071,0	1980,3	-360,68	-2552	920565,230	130086,46	6514439,5	3562,420	-1582,12	0,80
2352,0	4116,0	920,33	-416,6	-383444,208	846998,11	173588,9	7008,310	-2892,31	0,70
898,8	2956,8	-532,88	-1576	839725,740	283955,77	2483271,7	3099,202	-142,40	0,05
1724,0	8068,2	292,43	3535,6	1033886,133	85512,38	12500184,5	5319,259	2748,94	0,34
1006,0	2322,6	-425,78	-2210	940979,781	181284,35	4884276,8	3387,301	-1064,70	0,46
1733,0	6079,5	300,83	1546,9	465334,160	90495,68	2392775,9	5341,855	737,65	0,12
1558,0	2803,5	126,53	-1729	-218779,439	16008,58	2989925,1	4872,988	-2069,49	0,74
682,5	2457,0	-749,18	-2076	1555017,597	561263,18	4308281,4	2517,355	-60,36	0,02
871,5	1917,3	-560,18	-2615	1465048,085	313796,03	6840003,3	3025,765	-1108,47	0,58
1703,0	6163,5	271,43	1630,9	442656,176	73671,53	2659704,3	5262,769	900,73	0,15
28634	90653			14278662,72	4711220	92248815,7			6,67

х – среднесписочная численность, чел.

у – объем перевезенного груза, тыс.т.

Основные понятия математической статистики это корреляция и регрессия.

Первая задача математичкой статистики – это изучение связей между случайными явлениями. Эту задачу решает корреляционный анализ. Он находится в зависимости от регрессионного анализа.

Регрессионный анализ решает вторую задачу математической статистики. Определяет форму связи между случайными явлениями.

Оценки, полученные с помощью регрессионного анализа имеют большую точность, чем выше коэффициент корреляции.

По данным таблицы 11 рассчитываем среднее значение х и у.

(2.5.1.)

(2.5.2.)

Находим коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции – определяет интенсивность связи между случайными величинами.

Коэффициент корреляции изменяется от -1 до 1.

• Чем ближе коэффициент корреляции по модулю к единице, тем ближе разброс точек вокруг линии регрессии.

• Если коэффициент корреляции стремится к 0, то точки дальше удалены от линии регрессии.

• Если коэффициент корреляции имеет положительное значение, то зависимость прямая, т.е. с ростом Х значение У увеличивается.

• Если коэффициент корреляции имеет отрицательное значение, то зависимость обратная, т.е. с ростом Х значение У уменьшается.

По данным таблицы 11 рассчитываем коэффициент корреляции:

(2.5.3.)

Вывод: Связь между случайными величинами умеренная.

Оцениваем значимость коэффициента корреляции по t-критерию Стьюдента.

С помощью критериев значимости определяется существенность полученных коэффициентов по выборочным данным, т.е. насколько они значимы во всей генеральной совокупности с определённой вероятностью. Для экономических расчетов вероятность 95%.

t-критерий Стьюдента используется для малых выборок, если n не более 20. t расчетная рассчитывается по формуле:

(2.5.4.)

[1 с.20]

Теоретическое значение t определяется по таблице распределения Стьюдента.

Если значение t, определенное по формуле, будет больше, чем значение t, полученное из таблицы распределения Стьюдента при заданном уровне значимости, то предположение о нулевом значении коэффициента корреляции в генеральной совокупности не подтверждается. Если tтабл ≥ tрасч, то в генеральной совокупности корреляции может не быть.

Вывод: В генеральной совокупности коэффициент корреляции отличен от 0 с 95% вероятностью, т.к. 3,953 больше 2,101 (t табличная).

Строим поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи. Подсчитываем коэффициент регрессии.

Коэффициент регрессии – определяет форму связи между случайными величинами и для линейной парной зависимости (y=b*x+a) рассчитывается по формуле:

(2.5.5.)

Канонический вид:

у-4532,65=3,03х-3,03 1431,7

у-4532,65=3,03х-4338,051

у=3,03х-4338,051+4532,65

у=3,03х+194,599

Из системы уравнений получим a₁ = 3,03; а₀ = 194,599.

Вывод: Из полученного уравнения регрессии у=3,03х+194,599 можно утверждать, что с увеличением среднесписочной численности, объем перевезенного груза возрастет в среднем на 3,03 тыс. тонны.

Таблица 13

Строим поле корреляции в прямоугольной системе координат.

x	500,0	2000,0
y	1709,6	6254,6
Полем корреляции называются нанесенные в определённом масштабе точки в прямоугольной системе координат, каждая из которых имеет две координаты.

Рисунок 10. Линейная зависимость.

Оцениваем модель через среднюю ошибку аппроксимации.

Дополнительной оценкой точности аппроксимации является средняя относительная ошибка аппроксимации. Она представляет собой среднее отклонение расчетных значений от фактических.

Ошибка аппроксимации – определяет качество модели (адекватность).

- Если ошибка аппроксимации меньше 10%, то качество модели хорошее.

- От 10% до 60%, то качество удовлетворительное.

- Если больше 60%, то плохое.

По данным таблицы 11 рассчитываем ошибку аппроксимации:

(2.5.6.)

Вывод: Качество модели удовлетворительное.

Определяем долю влияния изучаемого фактора на результирующий показатель с помощью коэффициента детерминации.

Коэффициент детерминации – определяет долю влияния численности на объем перевезенного груза.

(2.5.7.)

(2.5.8.)

Вывод: 0,4624 доля влияние факторов, вошедших в модель на объем перевезенного груза.

0,5376 доля влияния факторов, не вошедших в модель на объем перевезенного груза.

5. Анализ рядов динамики

Анализируем динамику перевозок грузов с помощью расчета статистических показателей и средних характеристик.

Динамический ряд – ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, который характеризует изменение изучаемого признака во времени.

Динамический ряд характеризуется временем t и уровнем y.

Уровень ряда – это показатель, числовые значения которого составляют динамический ряд.

Время – это моменты или периоды, к которым относятся уровни ряда.

Анализ динамических рядов выявляет закономерности развития экономических явлений во времени.

Существуют два вида динамического ряда:

1. Моментный ряд. В этом ряде уровни характеризуют значения статистического показателя на определенную дату.

2. Интервальный ряд. В нём уровни характеризуют размер явления за определенный период. Уровни данного ряда не содержаться в предыдущих или последующих, поэтому их можно суммировать с целью получения укрупненных интервалов.

Таблица 14

Объем выполненных работ предприятием по годам, тыс. руб.

Рассчитываем основные показатели динамики объемов перевезенных грузов (цепные и базисные).

Абсолютный прирост

Определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и определяет, насколько данный уровень превышает уровень, принятый за базу сравнения (табл. 15)

Базисный абсолютный прирост: (2.6.1.)

Цепной абсолютный прирост: (2.6.2.)

Если каждый уровень динамического ряда сравнивать с одним и тем же предшествующим уровнем, принятым за базу то это сравнение с постоянной базой – базисный.

Если каждый уровень динамического ряда сравнивать с предшествующим то это сравнение с переменной базой – называется цепным.

Темп роста

Определяется как коэффициент роста, выраженный в процентах (табл. 15)

(2.6.3.)

Коэффициент роста

Определяется как отношение двух сравниваемых уровней. Он определяет во сколько раз сравниваемый уровень больше или меньше уровня, с которым производится сравнение.

Коэффициент роста с базисным показателем:

(2.6.4.)

Коэффициент роста с цепным показателем:

(2.6.5.)

Темп прироста – определяет на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня принятого за базу сравнения (табл. 15)

Базисный темп прироста:

(2.6.6.)

Цепной темп прироста:

(2.6.7.)

(2.6.8.)

Абсолютное значение 1% прироста. Этот показатель равен сотой части предыдущего уровня. Определяет какое абсолютное значение содержится в 1% прироста.

(2.6.9.)

Результаты расчетов сведем в таблицу 15.

Средний абсолютный прирост

(2.6.10)

Вывод: Объем выполненных работ предприятием в среднем изменился на 1,08 тыс. руб.

Средний темп роста

(2.6.11)

(2.6.12)

Вывод: Объем выполненных работ предприятием в среднем за анализируемый период времени изменилось в 1,007 раз.

Средний темп прироста

(2.6.13)

Вывод: Объем выполненных работ предприятием в среднем изменилось на 0,7%.

Таблица 15

Расчет показателей динамического ряда

Показатели	Год
	2000	2001	2002	2003
1. Объем выполненных работ предприятием, тыс. руб	131,6	138,2	145,2	148,3
2. Темпы роста базисные:	−	1,05	1,10	1,127
2.1. коэффициенты
2.2. проценты	−	105	110	112,7
3. Темпы роста цепные:	−	1,05	1,05	1,02
3.1. коэффициенты
3.2. проценты	−	105	105	102,0
4. Абсолютные приросты, ед.	−	6,6	13,6	16,7
4.1. базисные (2000 г.)
4.2. цепные (по годам)	−	6,6	7,0	3,1
5. Темпы прироста базисные	−	0,05	0,103	0,127
5.1. коэффициенты
5.2. проценты	−	5	10,3	12,7
6. Темпы прироста цепные	−	0,05	0,051	0,021
6.1. коэффициенты
6.2. проценты	−	5	5,1	2,1
7. Абсолютное значение 1 % пр.	−	1,32	1,38	1,45

Рисунок 11. Тренд

Уравнение тренда: у=5,71х-11288

7. Анализ перевозок грузов с помощью расчета индексов сезонности.

В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, называется «сезонные колебания» или «сезонные волны», а динамический ряд – сезонным рядом динамики.

Существуют ряд методов изучения и измерения сезонных колебаний. Самый простой заключается в построении специальных показателей, которые называются индексами сезонности Is. Совокупность этих показателей отражают сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригрупповых уровней к теоретическим уровням, выступающие в качестве базы сравнения.

Индексы – относительные величины, которые характеризуют соотношение во времени и в пространстве социально-экономических явлений.

Таблица 16

Среднемесячные объемы перевозок грузов АТП по годам, т.

Месяц	Среднемесячные объемы перевозок грузов, т.
	2000	2001	2002
Январь	46242	42936	42754
Февраль	44810	45631	41829
Март	43111	46839	43425
Апрель	45827	48115	44723
Май	49682	47816	47111
Июнь	52119	49424	48216
Июль	54723	53829	49825
Август	59475	57917	54210
Сентябрь	60197	59600	57817
Октябрь	56815	54128	44297
Ноябрь	45637	46200	43810
Декабрь	44438	49180	41973

• Определяем среднесуточный объем перевозок

, где (2.7.1.)

- среднемесячный объем перевозок i-го месяца j-го года.

- дни календарные i-го месяца j-го года.

• Определяем среднесуточный объем перевозок для каждого месяца по данным за 3 года.

, где (2.7.2.)

- объем перевозок i-го месяца за 1,2,3 год соответственно. Результаты расчетов представить в таблицу 16.

• Для построения сезонной волны рассчитываем индексы сезонности по формуле:

, где (2.7.3.)

- общая среднесуточная величина за исследуемый период, определяется как средневзвешенная арифметическая из среднесуточных объемов по месяцам за 3 года.

(2.7.4)

• Строим график

Таблица 17

Среднесуточные объемы перевозок АТП по годам, т.

Месяц	Кол-во дней в мес.	Ср.суточочный объем перевозок грузов, т.
		2000г	2001г.	2002г
Январь	31	1492	1385	1379	1419	43989
Февраль	28	1600	1630	1494	1575	44100
Март	31	1391	1511	1401	1434	44454
Апрель	30	1528	1604	1491	1541	46230
Май	31	1603	1542	1520	1555	48205
Июнь	30	1737	1647	1607	1664	49920
Июль	31	1765	1736	1607	1703	52793
Август	31	1919	1868	1749	1845	57195
Сентябрь	30	2007	1987	1927	1974	59220
Октябрь	31	1833	1746	1429	1669	51739
Ноябрь	30	1521	1540	1460	1507	45210
Декабрь	31	1433	1586	1354	1458	45198
Итого	365					588253

Таблица 18

Значения индексов сезонности

Месяц	Индекс сезонности
Январь	88
Февраль	98
Март	89
Апрель	96
Май	96
Июнь	103
Июль	106
Август	114
Сентябрь	122
Октябрь	104
Ноябрь	93
Декабрь	90

Рисунок 12. Индекс сезонности

Выводы:

1. Интенсивность движения на дорогах области характеризуется резко выраженной сезонностью.

2. Наименьшими перевозками характеризуется январь=88, а наибольшими сентябрь=122, это вызвано большим количеством объемов работ, носящих сезонный характер.