6.2. Численный расчёт переходной характеристики.

Для расчёта переходной характеристики численным методом использовалась явная форма алгоритма Эйлера, уравнения которого для k-ого шага выглядят следующим образом: .

Шаг численного расчёта .

t	i	u1	u2	u0
0	0	0	0	0,5
0,057	0	0,06006	0,0333333	1
0,114	0,0040541	0,168962	0,0915516	1
0,171	0,015459	0,257302	0,1347472	1
0,228	0,0328268	0,328472	0,1662942	1
0,285	0,0549987	0,385217	0,1888901	1
0,342	0,0810009	0,429769	0,2046903	1
0,399	0,1100103	0,463948	0,2154136	1
0,456	0,1413268	0,489249	0,2224286	1
0,513	0,1743511	0,506906	0,2268215	1
0,57	0,2085672	0,517947	0,2294516	1
0,627	0,2435287	0,523237	0,2309949	1
0,684	0,2788472	0,523506	0,2319798	1
0,741	0,3141838	0,519382	0,2328154	1
0,798	0,3492421	0,511408	0,2338146	1
0,855	0,3837621	0,500061	0,2352121	1
0,912	0,4175162	0,485762	0,2371798	1
0,969	0,4503052	0,468891	0,2398383	1
1,026	0,4819553	0,449787	0,2432671	1
1,083	0,512316	0,428765	0,2475124	1
1,14	0,5412576	0,406111	0,252593	1
1,197	0,5686701	0,382092	0,2585065	1
1,254	0,5944614	0,356955	0,2652329	1
1,311	0,6185558	0,330931	0,2727382	1
1,368	0,6408936	0,304237	0,2809777	1
1,425	0,6614296	0,277077	0,2898982	1
1,482	0,6801323	0,249641	0,29944	1
1,539	0,6969831	0,222108	0,3095386	1
1,596	0,7119754	0,194645	0,3201262	1
1,653	0,7251139	0,167408	0,3311331	1
1,71	0,7364139	0,140543	0,3424881	1
1,767	0,7459006	0,114183	0,3541202	1
1,824	0,7536079	0,088453	0,3659586	1
1,881	0,7595785	0,063466	0,377934	1
1,938	0,7638624	0,039324	0,3899784	1
1,995	0,7665168	0,016121	0,4020264	1
2,052	0,767605	-0,00606	0,4140148	1
2,109	0,7671958	-0,02715	0,4258835	1
2,166	0,7653633	-0,04708	0,4375756	1
2,223	0,7621854	-0,0658	0,4490376	1
2,28	0,7577437	-0,08327	0,4602194	1
2,337	0,752123	-0,09945	0,4710748	1
2,394	0,7454101	-0,11431	0,4815615	1
2,451	0,7376939	-0,12785	0,4916409	1
2,508	0,7290643	-0,14004	0,5012785	1
2,565	0,7196118	-0,15088	0,5104439	1
2,622	0,7094271	-0,16039	0,5191104	1
2,679	0,6986004	-0,16858	0,5272553	1
2,736	0,6872212	-0,17546	0,5348599	1
2,793	0,6753777	-0,18106	0,5419093	1
2,85	0,6631561	-0,18541	0,548392	1
2,907	0,6506408	-0,18855	0,5543006	1
2,964	0,6379136	-0,19052	0,5596306	1
3,021	0,6250535	-0,19136	0,5643812	1
3,078	0,6121365	-0,19113	0,5685546	1
3,135	0,5992351	-0,18988	0,5721561	1
3,192	0,5864183	-0,18766	0,5751938	1
3,249	0,5737514	-0,18453	0,5776785	1
3,306	0,5612958	-0,18055	0,5796233	1
3,363	0,5491084	-0,17579	0,5810437	1
3,42	0,5372425	-0,17031	0,5819573	1
3,477	0,5257466	-0,16417	0,5823837	1
3,534	0,5146651	-0,15744	0,5823439	1
3,591	0,5040379	-0,15018	0,5818606	1
3,648	0,4939008	-0,14246	0,5809579	1
3,705	0,4842848	-0,13434	0,5796607	1
3,762	0,475217	-0,12588	0,5779952	1
3,819	0,4667199	-0,11715	0,575988	1
3,876	0,458812	-0,10821	0,5736665	1
3,933	0,4515077	-0,09911	0,5710584	1
3,99	0,4448175	-0,08992	0,5681916	1
4,047	0,438748	-0,08068	0,565094	1
4,104	0,433302	-0,07145	0,5617935	1
4,161	0,4284791	-0,06228	0,5583178	1
4,218	0,4242753	-0,05321	0,554694	1
4,275	0,4206834	-0,04429	0,550949	1
4,332	0,4176936	-0,03557	0,5471087	1
4,389	0,4152929	-0,02707	0,5431986	1
4,446	0,4134659	-0,01883	0,5392432	1
4,503	0,412195	-0,01089	0,535266	1
4,56	0,4114602	-0,00327	0,5312896	1
4,617	0,4112396	0,004002	0,5273355	1
4,674	0,4115097	0,010899	0,523424	1
4,731	0,4122454	0,017406	0,5195742	1
4,788	0,4134203	0,023505	0,5158039	1
4,845	0,4150069	0,029183	0,5121297	1
4,902	0,4169767	0,03443	0,5085669	1
4,959	0,4193008	0,039238	0,5051293	1
5,016	0,4219493	0,043602	0,5018295	1
5,073	0,4248925	0,04752	0,4986788	1
5,13	0,4281001	0,050993	0,4956869	1
5,187	0,4315421	0,054022	0,4928625	1
5,244	0,4351886	0,056614	0,4902127	1
5,301	0,43901	0,058774	0,4877434	1
5,358	0,4429773	0,060512	0,4854594	1
5,415	0,4470619	0,06184	0,4833639	1
5,472	0,451236	0,062769	0,4814594	1
5,529	0,4554729	0,063314	0,4797469	1
5,586	0,4597466	0,06349	0,4782264	1
5,643	0,4640322	0,063314	0,4768969	1
5,7	0,4683059	0,062804	0,4757564	1
5,757	0,4725452	0,06198	0,4748019	1
5,814	0,4767288	0,060859	0,4740297	1
5,871	0,4808368	0,059464	0,4734351	1
5,928	0,4848506	0,057814	0,4730128	1
5,985	0,4887531	0,055931	0,4727569	1
6,042	0,4925284	0,053836	0,4726606	1
6,099	0,4961623	0,05155	0,4727168	1
6,156	0,499642	0,049096	0,4729178	1
6,213	0,502956	0,046495	0,4732557	1
6,27	0,5060944	0,043768	0,4737219	1
6,327	0,5090487	0,040935	0,4743078	1
6,384	0,5118118	0,038017	0,4750045	1
6,441	0,5143779	0,035034	0,4758028	1
6,498	0,5167427	0,032005	0,4766935	1
6,555	0,5189031	0,028949	0,4776673	1
6,612	0,5208571	0,025884	0,4787151	1
6,669	0,5226043	0,022826	0,4798275	1
6,726	0,524145	0,019792	0,4809954	1
6,783	0,525481	0,016797	0,4822099	1

табл. 6.1.

рис. 6.1 Аналитически (сплошная линия) и численно (пунктирная линия) рассчитанная переходная характеристика.

рис 6.2 Аналитически рассчитанная импульсная характеристика.

Точность численного расчёта (рис. 6.1) можно оценить по трём характерным точкам (см. табл. 6.2).

			Отклонение от точного (аналитически посчитанного) значения. %
0,057	0,05653	0,03333	41,04311
3,363	0,56237	0,58105	3,31932
6,783	0,48092	0,48220	0,26732

табл. 6.2

Таким же образом была оценена точность численного расчёта для всех значений времени из

табл. 6.1, и среднее отклонение от истинного значения переходной характеристики на протяжённости всей практической длительности переходного процесса составила . Исходя из этого можно сделать вывод, что численный расчёт переходной характеристики является достаточно точным.

5. Вычисление реакции при воздействии одиночного импульса на входе.

Для нахождения изображения по Лапласу входного единичного импульса был представлен в виде суммы двух косинусоид:

рис. 7.1 Одиночный импульс входного напряжения..

Тогда .

Аналитический расчёт реакции при одиночном импульсном воздействии.

Реакция в области выглядит следующим образом:

Для получения реакции во временной области было применено обратное преобразование Лапласа:

График реакции во временной области, рассчитанный аналитическим методом, представлен на рис. 7.2.

Численный расчёт реакции при одиночном импульсном воздействии.

Численный расчёт производился согласно алгоритму Эйлера, результаты которого для каждого шага представлены вПриложении 1. График реакции при единичном импульсе воздействия, рассчитанный численным методом, представлен на рис. 7.2.

рис. 7.2. Аналитически (сплошная линия) и численно (пунктирная линия) рассчитанная реакция

на одиночный импульс воздействия.

На этих графиках видно, что численно рассчитанная реакция не значительно откланяется от истинного значения реакции, полученного аналитическим методом. В среднем это отклонение составило .

рис. 7.3. График одиночного импульса воздействия изменённого A(0)=0,5 раз (сплошная линия) и реакции на это воздействие (пунктирная линия).

Из графиков (рис. 7.3) следует, что все предположения относительно формы выходного сигнала, сделанные в пункте 4 подтвердились. А именно амплитуда выходного сигнала уменьшилась относительно амплитуды воздействия в раза, и произошло запаздывание по фазе относительно входного сигнала на.

8. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия.

Спектральная плотность входного одиночного сигнала:

Амплитудный спектр входного одиночного сигнала: .

График амплитудного спектра входного одиночного сигнала приведён на рис. 8.1.

Фазовый спектр входного одиночного сигнала:,

где .

График фазового спектра входного одиночного сигнала приведён на рис. 8.2.

рис. 8.1. Амплитудный спектр входного одиночного сигнала.

Амплитудный спектр имеет узлы – значения частот , при которых спектр равен нулю:при, т.е.; следовательно,. Причастота.

На частоте–. Для определения значенияиспользуется правило Лопиталя:.

рис. 8.2. График фазового спектра входного одиночного сигнала.

Ширина спектра одиночного входного сигнала, определенная по -ому амплитудному критерию (рис. 8.1), составляет

При ширине спектра , амплитудный спектр одиночного входного сигнала большей частью не попадает в полосу пропускания, включающую в себя частоты от 0 до. Исходя из этого можно утверждать, что форма выходного сигнала будет претерпевать значительные искажения, т.к. в полосу пропускания не попадет часть спектра входного сигнала, но в то же время та часть спектра, в которой сосредоточена основная часть энергии, попадает в полосу пропускания, что обеспечивает, в целом, сохранение формы входного сигнала.

Эти оценки подтверждаются графиками (рис. 7.2, 7.3), полученными в пункте 7.

8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе.

Согласно формулам:

Амплитудный спектр реакции при одиночном импульсе на входе:

.

рис. 9.1 Амплитудный спектр реакции при одиночном импульсном воздействии.

Для определения значения используется правило Лопиталя:.

Фазовый спектр реакции при одиночном импульсе на входе:

рис. 9.2 Фазовый спектр реакции при одиночном импульсном воздействии.

8. Приближённый расчёт реакции по спектру при одиночном импульсе на входе.

Приближённый расчёт производится по амплитудному (рис. 9.1) и фазовому спектрам (рис. 9.2).

Использовались формулы:

, где .

Период был выбран, равным . Поскольку полоса пропускания, то и интервал рассматриваемых частот ограничен значениями.

0	0	1,57	0,5	0	0		1,57
1/6	480	0.523	0,5	-0.15	12,73239545		0,373
1/3	685.71	-0.523	0.5	-0.31	18,18902267		-0,833
½	533,333	-1,57	0,497	-0,491	14,06221463		-2,061
2/3	174.54	-2.618	0.487	-0.71	4,509442045		-3,328
5/6	131.87	-0.523	0.459	-0.989	3,211127639		-1,512
1	213,333	-1,57	0,39	-1,35	4,413890192		-2,92

табл. 12.1

По этой таблице записывается отрезок ряда Фурье:

…

рис. 10.1 Графики реакции при одиночном импульсе воздействия, рассчитанная аналитически (сплошная линия) и численно по спектру (пунктир).

Из графиков на этом рисунке видно, что реакция, рассчитанная численным методом по спектру практически совпадает с результатами расчёта реакции аналитическим методом (см. пункт 7).

8. Определение спектра периодического входного сигнала.

Для определения спектральных характеристик входного периодического сигнала используется связь спектральных характеристик одиночного и периодического сигналов.

Амплитудный спектр входного периодического сигнала:

Фазовый спектр входного периодического сигнала:

где ;– число гармоник ряда Фурье, определяемых по ширине спектра;;– частота основной гармоники.

, находились по формулам:

.

.

Результаты представлены в таблице.

K	Aк	Фк
0	0	1,5708
1	84,88263632	-1,5708
2	33,95305453	-1,5708
3	21,82696362	-1,5708
4	16,1681212	-1,5708
5	12,8610055	-1,5708
6	10,68452765	-1,5708
7	9,141206988	-1,5708
8	7,988954006	-1,5708
9	7,095452571	-1,5708
10	6,382153106	-1,5708
11	5,799434779	-1,5708
12	5,314391143	-1,5708
13	4,904330098	-1,5708
14	4,553091603	-1,5708
15	4,248852763	-1,5708
16	3,982762994	-1,5708
17	3,748064461	-1,5708
18	3,539507615	-1,5708
19	3,35295237	-1,5708
20	3,185089543	-1,5708

табл. 11.1

Отрезок ряда Фурье для входного периодического сигнала будет выглядеть следующим образом:

.

Дискретные спектрыипредставлены на рисунках 11.1 и 11.2 соответственно.

рис. 11.1 Дискретный амплитудный спектр периодического входного сигнала.

рис. 11.2 Дискретный фазовый спектр периодического входного сигнала.

рис. 11.3 Входной периодический сигнал (сплошная линия) и его аппроксимация отрезком ряд Фурье (пунктир).

На графике аппроксимации входного периодического сигнала отрезком ряда Фурье (см. рис. 11.3), функция состоит из трёх косинусоид, согласно рекомендациям [1], график каждой из которых также приведён на этом рисунке.

Если рассматривать периодический входной сигнал, аппроксимированный отрезком ряда Фурье, в границах первого периода, в котором входной сигнал, как апериодический, задан точной функцией то появляется возможность оценить точность аппроксимации.

С помощью компьютера было проведено исследование точности аппроксимации входного периодического сигнала в зависимости от количества членов отрезка ряда Фурье, которая вычислялась по следующему критерию . Его можно охарактеризовать как относительную погрешность в среднем за период.

Эта погрешность, была рассчитана для двадцати аппроксимирующих функций, представляющих собой отрезки ряда Фурье с количеством членов от 1 до 20.

рис. 11.4 График зависимости относительной погрешности в среднем за период от количества членов отрезка ряда Фурье.

Поскольку погрешность, в основном, накапливается в местах, где функция изменяется скачком, и исходя из результатов исследования, представленных на графике (рис. 11.4), можно сделать вывод, что при дальнейшем увеличении числа членов отрезка ряда Фурье, будет наблюдаться постепенное уменьшение величины погрешности, с последующим замедлением темпа её уменьшения, т.е. будет происходить достаточно медленное и незначительное увеличение точности аппроксимации.

12. Приближённый расчёт реакции при периодическом воздействии.

Для нахождения ряда Фурье реакции, использовалась следующая формула:

Значения, полученные в результате применения этих формул, представлены в табл. 12.1.

k		Aвх	Фвх	A()	Ф()	Aвых	Фвых
0	0	0	1,570796	0,5	0	0	1,570796
1	0,5	84,88264	-1,570796	0,4967	-0,4912	42,16121	-2,062
2	1	33,95305	-1,570796	0,39055	-1,3498	13,26037	-2,9206
3	1,5	21,82696	-1,570796	0	3,7804	0	2,209604
4	2	16,16812	-1,570796	0,1627	3,2222	2,630553	1,651404
5	2,5	12,86101	-1,570796	0,2033	2,9381	2,614642	1,367304
6	3	10,68453	-1,570796	0,21013	2,7525	2,24514	1,181704
7	3,5	9,141207	-1,570796	0,2055	2,6154	1,878518	1,044604
8	4	7,988954	-1,570796	0,1967	2,5077	1,571427	0,936904
9	4,5	7,095453	-1,570796	0,1864	2,42	1,322592	0,849204
10	5	6,382153	-1,570796	0,176	2,3471	1,123259	0,776304
11	5,5	5,799435	-1,570796	0,166	2,2854	0,962706	0,714604
12	6	5,314391	-1,570796	0,1567	2,2325	0,832765	0,661704
13	6,5	4,90433	-1,570796	0,148	2,1866	0,725841	0,615804
14	7	4,553092	-1,570796	0,14	2,1466	0,637433	0,575804
15	7,5	4,248853	-1,570796	0,1327	2,1112	0,563823	0,540404
16	8	3,982763	-1,570796	0,126	2,0798	0,501828	0,509004
17	8,5	3,748064	-1,570796	0,1199	2,0518	0,449393	0,481004
18	9	3,539508	-1,570796	0,1142	2,0267	0,404212	0,455904
19	9,5	3,352952	-1,570796	0,1091	2,0039	0,365807	0,433104
20	10	3,18509	-1,570796	0,1043	1,9833	0,332205	0,412504

табл. 12.1

По таблице, 12.1 строятся графики дискретных спектров реакции (рис. 12.1, 12.2).

рис. 12.1 Дискретный амплитудный спектр реакции при периодическом воздействии.

рис. 12.1 Дискретный фазовый спектр реакции при периодическом воздействии.

По таблице 12.1 можно записать отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий реакцию, при периодическом воздействии:

рис. 12.3 Графики периодического входного сигнала, изменённого вA(0)=0,5 раз (пунктир) и реакции (сплошная линия). Обе функции аппроксимированы отрезком ряда Фурье.

Из этого графика можно сделать вывод, что в результате прохождения, периодического сигнала, заданной формы через цепь, его амплитуда уменьшается в 2 раза, и выходной сигнал запаздывает по фазе относительно входного на время 0,9. Также выходной сигнал, претерпевает не очень значительные искажения формы.

12. Определение в “замкнутой” форме вынужденной составляющей реакции при периодическом входном сигнале.

Изображение по Лапласу воздействия в целом:

.

Коэффициенты находятся на основании теоремы разложения преобразования Лапласа:

Расчеты производились с помощью Mathcad 2000.

;

Изображение периодической реакции в интервале

При переходе к оригиналу не учитывается, т.к. функция рассматривается в интервале .

рис. 13.1 Графики выходного сигнала при периодическом воздействии. Аппроксимация отрезком ряда Фурье (пунктир) и вынужденная составляющая в замкнутой форме (сплошная линия).

Из этих графиков видно, что результаты аппроксимации реакции при периодическом входном сигнале отрезком ряда Фурье (см. пункт 12) и вынужденная составляющая реакции, полученная в этом пункте практически совпадают, что подтверждает правильность выполнения обоих способов расчёта.

12. Выводы.

В результате выполнения данной курсовой работы было установлено, что при прохождении заданного сигнала через рассмотренный выше фильтр нижних частот, его амплитуда уменьшается в 2 раза и выходной сигнал запаздывает по фазе относительно входного на мкс, также входной сигнал претерпевает незначительное изменение формы. Что было подтверждено различными способами расчёта при одиночном и периодическом воздействии.

12. Список использованной литературы.

1. “Курсовое проектирование по теории электрических цепей” под ред. Ю.А. Бычкова, Э.П. Чернышёва; ГЭТУ, СПб., 1996.

2. Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышёв “Теория электрических цепей”; ГЭТУ, СПб., 1993, 1994.