Система лінійних рівнянь

(3)

яка одержана із системи (2) заміною всіх вільних членів нулями, називається відповідною (асоційованою) до системи (2) однорідною системою лінійних рівнянь.

Теорема 3. (Про накладання розв'язків) Множина { }, де -який-небудь розв’язок неоднорідної системи (2), а L-множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (3) є множина всіх розв’язків неоднорідної системи лінійних рівнянь (2).

Висновок 1. Сума розв’язку неоднорідної системи і розв’язку відповідної однорідної системи є розв’язком неоднорідної системи.

Висновок 2. Різниця будь-яких двох розв’язків неоднорідної системи лінійних рівнянь є розв’язок відповідної однорідної системи.

Необхідні і достатні умови рівності визначника нулю.

Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і кількість рівнянь рівні між собою, тобто m = n. Нехай, наприклад, n = m = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

Визначником другого порядку називається вираз

.

Якщо n = m = 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

Визначником третього порядку називається вираз:

. (1.2)

Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті тран­спонування.

Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний.

Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С.

Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.

Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

11.n-вимірний векторний простір

Означення. Сукупність упорядкованих систем з n дійсних чисел, для яких визначено дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний векторний простір V_n.

Елементами заданого таким чином простору будуть впорядковані системи чисел, які називатимемо n-вимірними векторами і записуватимемо: . Числа a_i, i = 1, 2, 3, ..., n називаються компонентами вектора . Якщо розглянути ще один елемент простору V_n — вектор , то у просторі V_n можна виконувати такі дії.

Додавання двох векторів за правилом:

.

Множення вектора на число , за правилом:

.

Два вектори і вважаються рівними, якщо виконуються рівності . Роль нуля відіграє . З означень дій додавання і множення вектора на число випливають властивості:

Означення. Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , що .

Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа хоча б одне з яких відмінне від нуля, що виконується рівність

. (1.16)

Якщо рівність (1.16) можлива лише в разі, коли всі , то система векторів називається лінійно незалежною.

Будь-яка система векторів, що складається з більшої кількості векторів, ніж розмірність простору V_n, буде лінійно залежною.

Лінійно незалежна система n-вимірних векторів називається максимальною, або повною, лінійно незалежною системою, якщо в результаті додавання до неї будь-якого відмінного від n-вимірного вектора вона стає лінійно залежною.

З розглянутого твердження випливає, що в n-вимірному просторі кожна лінійно незалежна система, яка складається з n векторів, буде максимальною, а також будь-яка максимальна, лінійно незалежна система векторів у цьому просторі складається з n векторів.

Означення. Базисом векторного простору V_n називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так, систему векторів:

можна розглядати як базис простору V₃.