Основные понятия дифференциальных уравнений первого порядка
ДУ первого порядка имеет вид
.
Если это уравнение можно разрешить
относительно
,
то оно будет иметь следующий вид
.
В этом случае говорят, что ДУ разрешено
относительно производной.
Как видно из приведенных выше примеров,
в решение ДУ входит произвольная
постоянная
.
На основе этого введем понятия общее
решение и общий интеграл ДУ.
Определение 1.4. Общим решением
ДУ первого порядка называется
функция вида
,
которая содержит произвольную постоянную
.
(может случиться, что
изменяется лишь в некоторых пределах).
Если общее решение задается неявно,
т.е. имеет вид
,
то оно называется общим интегралом
ДУ.
Придавая произвольной постоянной определенные допустимые числовые значения, будем получать частные решения, определяемые заданным начальным условиям.
Обычно начальное условие ДУ I
порядка задается указанием пары
соответствующих друг другу значений
независимой переменной
и функции
.
Записывается это так:
или
.
Естественно, возникает вопрос: существует ли решение уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию , и будет ли это решение единственным? Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой, впервые сформулированной и доказанной Коши. Часто задачу отыскания частного решения по начальному условию называют задачей Коши.
Теорема 1.1 (теорема Коши о существовании и единственности решения).
Если в уравнении
функция
и ее частная производная
непрерывны в некоторой области
на плоскости
,
содержащей некоторую точку
,
то существует единственное решение
этого уравнения
,
удовлетворяющее условию
при
.
Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция , график которой проходит через точку .
Из только что сформулированной теоремы вытекает, что уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Каково бы ни было начальное условие
при
,
можно найти такое значение
,
что функция
удовлетворяет данному начальному
условию. При этом предполагается, что
значения
и
принадлежат к той области изменения
переменных
и
,
в которой выполняются условия теоремы
существования и единственности решения.
Определение 1.5. Частным решением
ДУ называется любая функция
,
которая получается из общего решения
,
если в последнем произвольной постоянной
придать определенное значение
при начальном условии
.
Соотношение
называется в этом случае частным
интегралом ДУ.
Пример 1.1. Для уравнения первого
порядка
общим решением будет семейство функций
(это можно проверить простой подстановкой
в уравнение).
Найдем частное решение (решим задачу
Коши), удовлетворяющее следующему
начальному условию:
при
.
Подставляя эти значения
и
в формулу
,
получаем
или
.
Следовательно, искомым частным решением
будет функций
.
Определение 1.6. График частного решения ДУ называется интегральной кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых.
Таким образом, отыскание частного решения сводится к тому, что из семейства интегральных кривых нужно выбрать ту, которая проходит через точку .
Решить или, как часто говорят, проинтегрировать ДУ – значит:
1) найти его общее решение или общий интеграл (если начальные условия не заданы);
2) найти его частное решение (частный интеграл), которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковы имеются).
Дадим геометрическую интерпретацию ДУ первого порядка.
Пусть дано ДУ, разрешенное относительно
производной, т.е.
,
и пусть
есть общее решение данного уравнения.
Это общее уравнение определяет семейство
интегральных кривых на плоскости
.
Данное ДУ для каждой точки
определяет значение производной
,
т.е. угловой коэффициент касательной к
интегральной кривой, проходящей через
эту точку. Таким образом, ДУ
дает совокупность направлений или, как
говорят, определяет поле направлений
на плоскости
.
Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирования ДУ заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.
Кривая, во всех точках которой направление
поля одинаково, т.е.
,
называется изоклиной. При
различных значениях
получаем различные изоклины. Построив
семейство изоклин, можно приближенно
построить семейство интегральных
кривых. Говорят, что, зная изоклины,
можно качественно определить расположение
интегральных кривых на плоскости.
Пример 1.2. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых ДУ
.
Решение. Уравнение изоклин этого
ДУ будет
,
т.е. изоклинами здесь будут
при
уравнение изоклины
,
тогда
.
Построив четыре изоклины и отметив на
каждой из них ряд стрелочек, наклоненных
к оси
под определенным углом (см. рисунок), по
их направлениям строим линии. Они, как
видно, представляют собой семейство
парабол вида
.