1.3. Ду с разделяющимися переменными

Определение 1.7. Дифференциальное уравнение вида:

, (1.1)

где зависит от , а зависит от , называется ДУ с разделенными переменными.

В этом уравнении переменные разделены, т.е. каждая из переменных содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал.

Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

 его общий интеграл.

Пример 1.3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Интегрируем обе части равенства:

.

Получаем . Данное решение легко выразить в явном виде .



Пример 1.4. Решить задачу Коши для уравнения при начальном условии .

Решение. Интегрируем обе части равенства. Записываем для удобства потенцирования произвольную постоянную в виде , получаем , откуда , или .

Подставляя в общее решение начальное условие, найдем : . Таким образом, функция является искомым частным решением данного ДУ.



Определение 1.8. Уравнение вида

(1.2)

называется ДУ с разделяющимися переменными.

Особенность уравнения (1.2) в том, что коэффициенты при и представляют собой произведение двух функций (чисел), одна из которых зависит только от , а другая – от .

Уравнение вида (1.2) легко сводится к уравнению (1.1) путем почленного деления его на . Получаем

.

Проинтегрировав, получаем общий интеграл

.

Замечания. 1) При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения,  особые решения.

2) Уравнение также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные.

Пример 1.5. Найти общее решение уравнения .

Решение. 1) Разделим переменные, приведем его к виду

.

2) Интегрируем каждую часть равенства:

а) ;

б) .

3) Итак, получаем общее решение, причем является неявной функцией от .

.

Заменяя на , можно представить решение и в таком виде

.

Кроме этого, есть еще частное решение , графиком которого является горизонтальная прямая .



1.4. Однородные ду первого порядка

Определение 1.9. Функция называется однородной функцией -го порядка (измерения) относительно переменных и , если при любом справедливо тождество

.

Например, функция  однородная функция первого порядка (измерения), так как .

Функция  однородная функция второго порядка, так как .

Функция  есть однородная функция нулевого порядка, так как

.

Определение 1.10. ДУ первого порядка

(1.3)

называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого порядка относительно и .

Однородные ДУ преобразуются в ДУ с разделяющимися переменными путем подстановки и . Находим его общее решение (или общий интеграл). Затем следует заменить в нем на . Получаем общее решение (или общий интеграл) исходного уравнения.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

(1.4)

где и  однородные функции одинакового порядка.

Общее решение или общий интеграл ДУ (1.4) находится по той же схеме, как и для однородного ДУ (1.3).

Пример 1.6. Решить ДУ: .

Решение. Данное уравнение является однородным, т.к. функции и  однородные функции второго порядка.

Сделав подстановку и , получаем:

.

Последнее уравнение является ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, получаем:

.

После интегрирования и преобразования имеем:

.

Заменяем на , получаем  общий интеграл исходного уравнения.



Замечание. Уравнение вида , где  числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводят новые переменные и , положив , , где и  числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.