2.4. Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами

Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для ДУ с постоянными коэффициентами такой метод существует.

Определение 2.5. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами называется ДУ вида

, (2.3)

где и  постоянные действительные числа.

Для нахождения общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами достаточно найти два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде , где  некоторое число (предложено Л.Эйлером). Тогда

, .

Подставляем полученные выражения производных в уравнение (2.3), получаем:

Так как , то .

Следовательно, если будет удовлетворять полученному приведенному квадратному уравнению, то будет решением уравнения (2.3).

Уравнение называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (2.3).

Поскольку характеристическое уравнение является квадратным уравнением, то возможны следующие случаи по наличию корней:

1. и  два различных действительных корня;

2. и  два равных действительных корня;

3. и  два комплексных корня;

Рассмотрим каждый случай отдельно.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны: .

В этом случае частными решениями будут функции и . Эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение имеет вид

. (2.4)

II. Корни характеристического уравнения действительны и равны: .

В этом случае частными решениями будут функции и (можно убедиться, подставив функцию в исходное ДУ). Эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение имеет вид