- •Алгебра событий. Классическое определение вероятности.
- •Условная вероятность.
- •Обоснование формулы условной вероятности в общем случае.
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Независимые события.
- •Испытание
- •Основы комбинаторики.
- •Моменты распределения.
- •Вычисление вероятностей
- •Основы теории вероятности
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •Формула полной вероятности
- •Формула полной вероятности.
- •Формула сложения вероятностей.
- •Формула Бейса
- •Формула Байеса.
- •Формула Бернули
- •Локальная теорема Лапласа.
- •Интегральная теорема Лапласа.
- •Случайные величины и законы их распределения
- •Функция распределения случайной величины.
- •Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины.
- •Характеристики положения случайной величины.
- •Математическое ожидание случайной величины.
- •Дисперсия случайной величины.
- •Для дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Характеристики рассеяния.
- •Некоторые законы распределения случайных величин.
- •Распределение Пуассона
- •Закон равномерной плотности
- •Показательное (экспоненциальное распределение)
- •Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
- •Геометрический способ
- •Случайные величины.
- •Испытания по схеме Бернулли.
- •Метод Монте-Карло.
- •Теоремы сложения.
- •Операции над событиями.
- •Частость наступления события.
- •Свойства частости.
- •Аксиоматика теории вероятности. Построение вероятностного пространства.
- •Теорема о продолжении меры.
- •Определение вероятностного пространства.
- •Классическое определение вероятности.
- •Независимые события.
- •Формула сложения вероятностей.
Алгебра событий. Классическое определение вероятности.
Пусть состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными.
Тогда достоверное событие m - количество равновероятных событий
, ,
Пусть произвольное событие Тогда , т.е. событие A состоит из k элементарных событий.
Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна дроби числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.
Условная вероятность.
P(A/B)
Условной вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло событие B.
Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных элементарных событий
Действительно, в данном испытании произошло одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность наступления произвольного элементарного события, входящего в B равна 1/t. Тогда по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.
В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.
Обоснование формулы условной вероятности в общем случае.
Пусть в nB испытаниях произошло событие B, а в nA испытаниях произошло событие A. Найдем условную частость наступления события A при условии, что произошло событие B. Мы можем сделать это для обоснования формулы, т.к. под вероятностью наступления события понимается предел частности наступления события при условии, что серия испытаний достаточно длинная. Условная частность
Рассматривая AB как одно событие D имеем:
Рассмотрим систему событий A1, A2,...,Ak. Покажем, что вероятность их совместного наступления равна:
Доказательство проведем по мат индукции.
Формула равна для 2 и 3 (см. ранее)
Пусть формула верна для k-1.
Введем событие B.
P(A1A2...Ak-1)=P(B)
P(A1A2...Ak)=P(AkB)=P(B)P(AkB)
Основные понятия теории вероятностей
В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух:
Событием называется любой исход опыта, различают следующие виды событий:
случайные
достоверные
невозможные
Понятие достоверного и невозможного события используется для количественной оценки возможности появления того или иного явления, а с количественной оценкой связана вероятность.
События называется несовместными в данном опыте если появление одного из них исключает появление другого.
События называется совместными если появление одного из них не исключает появление остальных.
Несколько событий образуют полную группу событий если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.
Если два несовместных события образуют полную группу они называются противоположными
События называется равновозможными если появление ни одного из них не является объективно более возможным чем другие.
События называются неравновозможными если появление хотя бы одного из них является более возможным чем другие.
Случаями называются несовместные равновозможные и образующие полную группу события.