11.5 Графо – аналитический метод взятия интегралов (способ Верещагина)

Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемещений в стержне, имеющем большое количество участков. Однако, если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными.

Этот способ применим только для прямолинейных участков, т.к. в этом случае единичная эпюра всегда носит единичный характер.

Пусть имеется эпюра внешних сил М_р (грузовая эпюра), обозначим ее площадь Ω_р (рис.11.22).

Рис. 11.22 Эпюра внешних сил

Для определения перемещения необходимо вместо вычислений интеграла Мора умножить площадь грузовой эпюры Мр на ординату, взятую на единичной эпюре под центром тяжести грузовой (нелинейной) эпюры.

Согласно интегралу Мора:

,

где р – площадь грузовой эпюры,

- ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры.

Пример

Определить перемещение.

M_P

l

l

Pl

Pl

lP

M₁

2/3l

l/2

Рис. 11.23 Эпюры М_р и М₁

Перемножение эпюр:

11.6 Универсальная формула трапеции

Рис. 11.24 Эпюра внешних сил

,

где - если есть распределенная нагрузка и ,

a, b, c, d − ординаты эпюры.

В формуле трапеции все ординаты берутся с учетом знака.

Пример (рис. 11.25)

Рис. 11.25 Эпюры Мр и М₁

Замечание: если в результате вычислений перемещение получилось со знаком «−», то направление перемещения противоположно направлению единичного усилия.

Заключение

Сопротивление материалов является одной из основных общеобразовательных инженерных дисциплин и играет существенную роль в формировании инженера почти любой специальности. Особенно большое значение сопротивление материалов имеет для механических, машиностроительных и строительных инженерных специальностей.

В связи с повышением энерговооруженности и быстроходности, уменьшением удельной материалоемкости машин, насыщением их гидро- и пневмомеханизмами возникла насущная необходимость повышения качества расчетных методов прикладной механики при разработке конструкций машин.

Настоящее пособие содержит ясную физическую трактовку явлений и логические выводы, задачи в четкой постановке; изложение опирается на строгий, но, по возможности, простой математический аппарат и строится на основе сведений, полученных при изучении естественнонаучных дисциплин.

Пособие будет полезно не только инженерам – конструкторам и производственникам всех специальностей, встречающимися в практической деятельности с расчетами на прочность, но будет с успехом использовано студентами, аспирантами, преподавателями и научными работниками.

86