Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. Н. Веретенников

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Р Г Г М У

Санкт-Петербург

2007

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ

УДК 51

Веретенников В. Н. Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания. Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функций. – СПб.: Изд. РГГМУ. 2007. – 36 с.

Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.

Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.

© Веретенников В. Н.

© Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2007.

Предисловие

"Математика" является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры. Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению интеллектуальных проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными информационными технологиями.

Целью математического образования является:

1. Воспитание достаточно высокой математической культуры.

2. Привитие навыков современных видов математического мышления.

3. Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.

Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента. Он должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

В пособии приведены основные теоретические сведения, отражающие базисные понятия по разделу "Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функций"; базисные методы решения основных задач; приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

Основные теоретические сведения

1. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Определение 1. Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух чисел из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Определение 2. Функция называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух чисел из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Промежутки, на которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности.

Признаки возрастания и убывания функций

Следующая теорема выражает важный для практических целей признак возрастания и убывания функции и указывает правило для определения интервалов, в которых функция возрастает и убывает (иначе, интервалов монотонности функций).

При решении задач, в которых требуется определить интервалы возрастания и убывания функции, следует, прежде всего, определить область существования этой функции.

Теорема 1 (достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале). Если во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция в этом интервале возрастает. Если же во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция в этом интервале убывает.

Геометрический смысл условий монотонности.

Известно: – геометрический смысл производной ( угол между касательной и осью ).

y y

O x₀ x O x₀ x

Функция возрастает: , так как касательная наклонена к оси под острым углом .

Функция убывает: , так как касательная наклонена к оси под тупым углом .

Практическое правило для нахождения промежутков монотонности функции. Для нахождения промежутков монотонности функции достаточно

1. разбить область существования функции на интервалы точками, в которых ее первая производная равна нулю или не существует,

2. определить ее знак в каждом из этих интервалов. Для чего достаточно вычислить значение производной в какой-либо одной точке каждого интервала, ибо внутри каждого интервала производная сохраняет постоянный знак (или решить неравенства ).

Пример 1. Определить промежутки монотонности функции .

▲ Функция определена на всей числовой оси

Найдем ее первую производную: . Она определена на всей числовой оси и равна нулю в точках (решается уравнение ).

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы .

Определим знак производной в каждом из интервалов, для чего достаточно вычислить знак в какой-либо одной точке каждого интервала. Для первого интервала удобно взять , следовательно, в интервале функция возрастает. Для второго интервала удобно взять , , следовательно, в интервале функция убывает. Для третьего интервала , , следовательно, в интервале функция возрастает.

Результаты исследования приведены в таблице.

Интервал изменения				▼
	+	–	+
Поведение функции

Замечание. Условимся в дальнейшем возрастание, убывание функции на интервале обозначать так: .

Пример 2. Определить промежутки монотонности функции .

▲ Функция определена на всей числовой оси

Найдем ее первую производную: . Производная не существует и равна нулю .

Этими точками разобьем область существования функции на интервалы , .

Для определения знака производной в каждом интервале удобно взять точки и . Тогда , следовательно, на интервале функция возрастает; , значит, на интервале функция убывает; , значит, на интервале функция возрастает.

Интервал изменения				▼
	+	–	+
Поведение функции

Пример 3. Определить промежутки монотонности функции .

▲ Функция не определена , т. е. область определения функции .

Найдем ее первую производную: . Производная не существует и равна нулю .

Этими точками разобьем область существования функции на интервалы , .

Для определения знака производной в каждом интервале удобно взять точки , . Тогда , следовательно, на интервалах и функция возрастает; , следовательно, на интервалах и функция убывает.

Интервал изменения					▼
	+	–	–	+
Поведение функции