- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания определенный интеграл
- •Предисловие
- •Понятие определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов
- •1. Понятие определенного интеграла
- •2. Условия интегрируемости функций
- •4. Свойства определенного интеграла
- •5. Вычисление определенного интеграла
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Интегрирование по частям определенного интеграла
- •3. Замена переменной в определенном интеграле
- •Решение задач I типового варианта
- •6. Вычисление несобственных интегралов
- •Решение задач II типового варианта
- •7. Приложение определенных интегралов к задачам геометрии
- •1. Вычисление площадей плоских фигур
- •2. Вычисление объемов тел вращения
- •3. Вычисление длин плоских кривых при различных способах задания линий основные понятия и формулы
- •Решение задачи III типового варианта
- •Решение задачи IV типового варианта
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
- •Содержание
- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания определенный интеграл
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. Н. Веретенников
Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания определенный интеграл
Р Г Г М У
Санкт-Петербург
2007
Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ
УДК 51
Веретенников В. Н. Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания. Определенный интеграл. – СПб.: Изд. РГГМУ. 2007. – 30 с.
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.
© Веретенников В. Н.
© Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2007.
Предисловие
"Математика" является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры. Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению интеллектуальных проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными информационными технологиями.
Целью математического образования является:
Воспитание достаточно высокой математической культуры.
Привитие навыков современных видов математического мышления.
Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.
Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента. Он должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.
В пособии приведены основные теоретические сведения, отражающие базисные понятия по разделу "Определенный интеграл"; базисные методы решения основных задач; приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.
Понятие определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов
1. Понятие определенного интеграла
Определение 1. Разбиением отрезка , называется конечная система точек этого отрезка такая, что .
Отрезки называются отрезками разбиения .
Максимум из длин отрезков разбиения называется параметром разбиения .
Определение 2. Говорят, что имеется разбиение с отмеченными точками отрезка , если имеется разбиение отрезка и в каждом из отрезков разбиения выбрано по точке .
Набор обозначается одним символом .
Пусть функция определена на отрезке , где . Если:
на отрезок нанести разбиение с отмеченными точками,
вычислить значения функции в отмеченных точках и
составить сумму
,
то она называется интегральной суммой функции на отрезке .
Геометрически сумма представляет собой алгебраическую сумму площадей прямоугольников, в основании которых лежат частичные отрезки , а высоты равны .
По-разному деля отрезок на частичных отрезков и по-разному выбирая в них отмеченные точки, можно для всякой заданной функции и всякого заданного отрезка составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. При этом оказывается, что все эти различные интегральные суммы при неограниченном возрастании и при стремлении к нулю параметра разбиения, имеют один общий предел.
Определение. Число называется пределом интегральных сумм функции на отрезке , если для любого числа найдется число такое, что для любого разбиения отрезка на части с длинами для всех (т. е. ), неравенство будет выполняться при любом выборе точек .
Для обозначения предела интегральных сумм употребляется запись
.
Число зависит от выбора числа , и поэтому иногда пишут .
Определение. Если при любых разбиениях отрезка на частичные отрезки и при любом выборе точек в них, интегральные суммы имеют один и тот же конечный предел , то этот предел называют определенным интегралом в смысле Римана от функции по отрезку .
Обозначение: .
Итак, по определению
.
Числа называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла; называется переменной интегрирования; – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением.
Так как определенный интеграл определен нами при условии, что , то дополним его определение следующими соглашениями: будем считать, что
если , то ;
если , то .