- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
- •Предисловие
- •Основные приемы и методы интегрирования Основная задача дифференцирования:
- •Основная задача интегрирования:
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •I. Непосредственное интегрирование
- •II. Интегрирование заменой переменной
- •Два способа замены переменной
- •Способ I.
- •Способ II.
- •Замена переменной в уме
- •Решение задач 1-14 типового варианта
- •III. Интегрирование по частям
- •Подынтегральное выражение представить в виде произведения двух сомножителей .
- •По установленному выражению надо дифференцированием найти .
- •По известному сомножителю определить интегрированием функцию .
- •Интегралы, для вычисления которых интегрирование по частям применяется несколько раз
- •Приведение интеграла к самому себе
- •1. Правило выбора частей:
- •Правило разложения правильной рациональной функции на простейшие
- •Корни знаменателя вещественные числа
- •Некоторые корни знаменателя кратные
- •Некоторые корни знаменателя – комплексные числа
- •Корни знаменателя – кратные комплексные числа
- •2. Интегрирование простейших дробей
- •Замечание. Под знаком логарифма трехчлен не взят по абсолютной величине, так как дискриминант отрицателен, а поэтому при любом значении этот трехчлен положителен.
- •3. Общий случай
- •Решение задач 19-21 типового варианта
- •V. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •IV. Интегралы вида
- •V. Интегралы вида
- •1. Если подынтегральная функция имеет вид
- •2. Если подынтегральная функция имеет вид
- •Если функция не изменяется при замене на и
- •Решение задач 22-24, 26 типового варианта
- •VI. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Рационализация подынтегральной функции
- •Подстановкой ,
- •Подстановкой ,
- •Если – целое число, то имеем рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций;
- •Если – целое число, то применяется подстановка , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей ;
- •Если – целое число, то используется подстановка , где – знаменатель дроби .
- •Решение задач 27, 28, 25 типового варианта
- •VI. Интегрирование разных функций
- •Еще раз напоминаем, что один и тот же интеграл можно найти по-разному
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
- •2. Знания на уровне доказательств и выводов
- •3. Умения в решении задач Студент должен уметь:
- •Использованная литература
- •Содержание
- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. Н. Веретенников
Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
Р Г Г М У
Санкт-Петербург
2007
Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ
УДК 51
Веретенников В. Н. Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания. Неопределенный интеграл. – СПб.: Изд. РГГМУ. 2007. – 57 с.
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.
© Веретенников В. Н.
© Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2006.
Предисловие
"Математика" является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры. Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению интеллектуальных проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными информационными технологиями.
Целью математического образования является:
Воспитание достаточно высокой математической культуры.
Привитие навыков современных видов математического мышления.
Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.
Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента. Он должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.
В пособии приведены основные теоретические сведения, отражающие базисные понятия по разделу "Неопределенный интеграл"; базисные методы решения основных задач; приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.
Основные приемы и методы интегрирования Основная задача дифференцирования:
Дана функция . Найти .
Основная задача интегрирования:
Дана производная функции . Найти .
Интегрирование – операция, обратная дифференцированию.
Определение. Функция называется первообразной функцией или первообразной по отношению к функции на некотором промежутке , если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная или, что то же самое, .
В связи с понятием первообразной сразу же возникают два вопроса:
для каких функций можно гарантировать существование первообразной?
сколько первообразных может иметь одна и та же функция?
Ответ на первый вопрос дается теоремой
Теорема 1 (о существовании первообразной). Если функция непрерывна на некотором промежутке , то на этом промежутке у нее существует первообразная.
Ответ на второй вопрос содержится в следующей теореме.
Теорема 2. Если – какая-нибудь первообразная функции на некотором промежутке, то формула
, (1)
где – любая постоянная, дает общий вид первообразных для функции .
Иными словами, здесь утверждается, что всякая функция вида (1) – первообразная для функции , и, обратно, всякая первообразная для функции имеет вид (1) при надлежащем подборе постоянной .
Определение. Если функция – первообразная для функции на промежутке , то множество функций , где – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке.
Обозначение: .
Таким образом, имеем
.