Значения временного ряда

Таблица 4

Год	Значение параметра состояния	Ut	lt	Δ t^(1)	Δ t^(2)
1985	0.81	-	-	-	-
1986	0.85	1	0	0.04
1987	0.9	1	0	0.05	0.01
1988	0.94	1	0	0.04	-0.01
1989	0.98	1	0	0.04	0
1990	1.03	1	0	0.05	0.01
1991	1.07	1	0	0.04	-0.01
1992	1.12	1	0	0.05	0.01
1993	1.16	1	0	0.04	-0.01
1994	1.20	1	0	0.04	0
1995	1.26	1	0	0.06	0.02
1996	1.31	1	0	0.05	-0.01
1997	1.35	1	0	0.04	-0.01
1998	1.39	1	0	0.04	0
1999	1.42	1	0	0.03	-0.01

Так как Т₁расч<tкр(0.01, 14), то делается заключение о том, что гипотеза об отсутствии тенденции в исследуемом роду не соответствует фактическим данным. С помощью последовательных разностей определим возможный порядок полинома для описания тенденции. Из табл.4 видно, что первые разности практически можно считать равными, а средняя арифметическая вторых разностей мала (0.001), ею можно пренебречь. Следовательно, тенденция изучаемого ряда может быть описана полиномом первой степени, т. е.

Выбрать форму кривой можно исходя из теоретического анализа сущности изучаемого явления и опираясь на опыт и знания исследования. Если уровни ряда увеличиваются в арифметической прогрессии, то сглаживая производятся по прямой, а если рост уровней идет в геометрической прогрессии, то сглаживание следует производить по показательной функции. При сглаживании временных рядов, характеризующих явления, стремящихся к некоторой предельной величине насыщения, применяются логические функции.

После того, как форма кривой будет выбрана, необходимо оценить параметры соответствующей модели. Эта задача решается в основном методом наименьших квадратов.

Задание на работу:

а) по данным, приведенным в файле «Варианты заданий» (таблица №1) оценить имеет ли место тенденция в значениях временного ряда.

б) из анализа конечных разностей определить предпочтительней порядок полинома.

Номер варианта задания совпадает с порядковым номером студента в групповом журнале.

Применение сплайн-функций для учета структурных изменений процесса

Функция П=f(t) является линейным сплайном над сеткой тогда, когда она непрерывна кусочно-линейная отt, и обозначается . Сеткойназывают произвольное множество точек оси абсцисс, где. Точкиназывают внутренними узлами,k- число узлов.

График сплайн-функции состоит из k прямолинейных отрезков, расположенных над k интервалами .

На рис.1 приведена линейная сплайн-функция над сеткой .

П

t

Узлы входящие в , еще называют точками перелома или точками стыковки. Стыковка отрезков в узлах должна быть непрерывной.

Линейный сплайн можно задавать его значениями во внутренних узлахи плюс его значение в концевых точках (узлах)и. Имея такие данные можно записать уравнение любого отрезка как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Так, уравнениеj-ого отрезка будет иметь вид:

Выразим отсюда

или

,

где

Полученное уравнение есть уравнение j-ого отрезка с угловым коэффициентом

Уравнение линейной сплайн-функции можно записать в другом виде, вводя новые переменные

где j=2,3,4,...,k

Функция называется элементарными сплайн-функциями . Тогда линейный сплайнможно записать так:

Коэффициент есть угловой коэффициент сплайна над первым интервалом, а остальные коэффициенты, начиная с, показывают изменение углового коэффициента при переходе от интервала (j-1) к интервалу j соответственно. Тогда полный коэффициент наклона сплайна над j-ом интервалом равен .

Уравнение можно рассматривать как детерминированную часть обычной регрессионной модели. Эта модель линейна относительно неизвестных параметров. Ограничений на эти параметры нет.

Если , то можно сделать вывод, что коэффициенты наклона над (j-1)-м и j-м интервалами одинаковые, а если , эти коэффициенты наклона различны и тогда можно сделать вывод, что в точке происходит ”структурные изменения” какого-то типа. Наличие структурного изменения свидетельствует об изменении состояния изучаемого объекта в смысле П -го параметра.

Угловые коэффициенты сплайна по сути являются случайными величинами. Это обусловлено тем, что по своей природе случайными являются значения . Поэтому для вынесения обоснованного заключения об изменении структуры процесса необходимо проанализировать, насколько существенно в статическом смысле различаются и .

Для оценки значимости расхождения угловых коэффициентов сплайна может быть использован подход, основанный на отбраковке грубых ошибок наблюдений (подробно процедура описана в книге Н.В. Смирнова, И.В. Дубинина-Барковского “Курс теории вероятности и математической статистики для технических приложений”, М.:, Наука, 1969, с. 284-287). Основанием к использованию упомянутого подхода служит то ,что закон распределения угловых коэффициентов можно считать нормальным (обоснованием этого утверждения может служить энтропийный подход, описанный в книге Л.Т. Кузина “Основы кибернетики”, т.1, М., Энергия, 1973 с. 169-172).

Если распределения результатов наблюдений (в нашем случае значения угловых коэффициентов сплайнов) следует нормальному закону , то нулевой гипотезойявляется предположение о том, чтопринадлежит той же генеральной совокупности, как и все остальныеk-1 наблюдения или, иными словами, не является результатом грубой ошибки. Здесь.

Проверка нулевой гипотезы заключается в том, что сравнивается по величине с некоторой критической границейx и гипотеза бракуется, еслипревосходит эту границу. Граница в свою очередь выбирается так, чтобы вероятность превзойти ее отвечала некоторому уровнюq. Если параметры генеральной совокупности a и σ известны, то закон распределения максимума в выборке изk членов можно определить. Событие равносильно тому, что всеk наблюдений будут меньше x. Отсюда, полагая x=a+t*σ получим:

Таким образом, для нахождения верхней допустимой границы при гипотезе , отвечающей уровню значимости, нужно найти квантиль нормального распределения, отвечающей вероятности, или верхнюю процентную точку этого распределения, отвечающую

В самом деле, определив такое , будем иметь в силу вышеприведенного соотношения для:

и

Таким образом, обозначая верхнюю допустимую границу для приk наблюдениях через , имеем:

Значения определяются по значениям таблицы, приведенной в приложении 4.

В нашем случае значение a=0, значение σ априорно неизвестно. Для проверки гипотезы можно использовать выборочное значение среднеквадратического отклонения S, либо значение размах (учитывая то обстоятельство, что для нормального закона распределения). В этом случае верхнюю допустимую границу дляпри некотором уровне значимостиq можно определить с помощью соотношения

Числа для уровнейq=10%, 5%, 2.5% и 1% берутся из таблицы, приведенной в приложении 5.

Они вычислены на основании исследования вероятности

величины ,

Если вместо в качестве “подозрительного” результата фигурирует, где, то применяется та же процедура, но критерийV заменяется на .

Наблюдения бракуется, если имеет место для данногоq неравенство

Пример. Допустим во время анализа временного рода были рассчитаны значения шести угловых коэффициентов сплайна: -1; -0.5; 0; 0.5; 1; 2. Требуется определить имело ли место изменения состояния изучаемого объекта.

Решение. Учитывая то обстоятельство, что , оценку значения среднеквадратического отклонения определим по величине размаха:

Выбрав уровень значимости q=2.5% определим

По таблице приложения 4 при находим. Затем по формуленаходим

В примере , а потому можно считать, с уровнем значимостиq=2.5%, что при угловом коэффициенте наклона ß=2 имеет место изменение структуры процесса.

Задание на работу:

По данным, приведенным в файле «Варианты заданий» (таблица №2) оценить имеет ли место структурные изменения процесса.

Номер варианта задания совпадает с порядковым номером студента в групповом журнале.

Приложение 1.

Критические точки распределения F Фишера-Снедекора

(k₁ - число степеней свободы большей дисперсии,

k₂ - число степеней свободы меньшей дисперсии)

Уровень значимости α=0.01
к2/к1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	4025	4999	5403	5625	5764	5889	5928	5981	6022	6056	6082	6106
2	98,49	99,01	90,17	99,25	99,33	99,30	99,34	99,36	99,36	99,40	99,41	99,42
3	34,12	30,81	29,46	28,71	28,34	27,91	27,67	27,39	27,34	27,23	27,13	27,05
4	21,20	18	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,8	14,66	14,54	14,45	14,37
5	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15	10,05	9,96	9,89
6	13,74	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,1	7,98	7,87	7,79	7,72
7	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7	6,84	6,71	6,62	6,54	6,47
8	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91	5,82	5,74	5,67
9	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,8	5,62	5,47	5,35	5,26	5,18	5,11
10	10,04	8,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95	4,85	4,78	4,71
11	9,86	7,20	6,22	5,67	5,32	5,07	4,88	4,74	4,63	4,54	4,46	4,40
12	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,65	4,50	4,39	4,30	4,22	4,16
13	9,07	6,7	5,74	5,2	4,86	4,62	4,44	4,3	4,19	4,10	4,02	3,96
14	8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28	4,12	4,03	3,94	3,86	3,8
15	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,8	3,73	3,67
16	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69	3,61	3,55
17	8,4	6,11	5,18	4,67	4,44	4,10	3,93	3,79	3,68	3,59	3,52	3,45

Уровень значимости α=0.05
к2\к1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	161	200	216	225	230	234	237	239	241	242	243	244
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,3	19,33	19,36	19,37	19,38	19,39	19,4	19,41
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	8,78	8,76	8,74
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,93	5,91
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	4,74	4,7	4,68
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,03	3,00
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,63	3,6	3,57
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,5	3,44	3,39	3,34	3,31	3,28
9	5,12	4,26	3,876	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,13	3,10	3,07
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	12,97	2,94	2,91
11	4,48	3,98	8,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,86	2,82	2,79
12	4,75	3,8	3,49	3,26	3,11	3,0	2,92	2,85	2,8	2,76	2,72	2,69
13	4,67	3,80	3,11	3,18	3,02	2,92	2,84	2,77	2,72	2,67	2,63	2,60
14	4,6	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,7	2,65	2,6	2,56	2,53
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,9	2,79	2,70	2,64	2,59	2,55	2,51	2,48
16	4,49	3,63	3,24	,301	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,45	2,12
17	4,45	3,59	3,2	2,96	2,91	2,7	2,62	2,55	2,5	2,45	2,41	2,38

Приложение 2.

Критические точки распределения Стьюдента

	Уровень значимости α (двухсторонняя критическая область)
Число степеней свободы	0,1	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
1	6,31	12,7	31,82	63,7	318,2	637,0
2	2,92	4,3	6,97	9,92	22,33	31,6
3	2,35	3,18	4,54	5,84	10,22	12,9
4	2,13	2,78	3,75	4,6	7,17	8,61
5	2,01	2,57	3,37	4,03	5,89	6,86
6	1,94	2,45	3,14	3,71	5,21	5,96
7	1,89	2,36	3,00	3,5	4,79	5,4
8	1,86	2,31	2,9	3,36	4,5	5,04
9	1,83	2,26	2,82	3,25	4,3	4,78
10	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14	4,59
11	1,8	2,2	2,72	3,11	4,03	4,44
12	1,78	2,18	2,68	3,05	3,93	4,32
13	1,77	2,16	2,65	3,01	3,85	4,23
14	1,76	2,14	2,62	2,98	3,79	4,14
15	1,75	2,13	2,6	2,95	3,73	4,07
16	1,75	2,12	2,58	2,92	3,69	4,01
17	1,74	2,11	2,57	2,9	3,65	3,96
18	1,73	2,10	2,55	2,88	3,61	3,92
19	1,73	2,09	2,54	2,86	3,58	3,88
20	1,73	2,09	2,53	2,85	3,55	3,85
21	1,72	2,08	2,52	2,83	3,53	3,82
22	1,72	2,07	2,51	2,82	3,51	3,79
23	1,71	2,07	2,5	2,81	3,49	3,77
24	1,71	2,06	2,49	2,8	3,47	3,74
25	1,71	2,06	2,49	2,79	3,45	3,72
26	1,71	2,06	2,48	2,78	3,44	3,71
27	1,71	2,05	2,47	2,77	3,42	3,69
28	1,7	2,05	2,46	2,76	3,4	3,66
29	1,7	2,05	2,46	2,76	3,4	3,66
30	1,7	2,01	2,46	2,75	3,39	3,65
40	1,68	2,02	2,42	2,7	3,31	3,55
60	1,67	2,00	2,39	2,66	2,23	3,46
120	1,66	1,98	2,36	2,62	3,17	3,37
	1,64	1,96	2,33	2,58	3,09	3,29
	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005

Приложение 3.

Значение средней µ и стандартных ошибок σ₁ и σ₂

для n от 10 до 50

N	µ	σ1	σ2
10	3.858	1.288	1.961
15	4.636	1.521	2.153
20	5.195	1.677	2.279
25	5.632	1.791	2.373
30	5.990	1.882	2.417
35	6.294	1.956	2.509
40	6.557	2.019	2.561
45	6.790	2.072	2.666
50	6.998	2.121	2.615

Приложение 4.

Обратная функция (x) (см. Примечание после таблицы)

p	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0.00	-	-3.09	-2.88	-2.75	-2.65	-2.58	-2.51	-2.46	-2.41	-2.37
0.01	-2.33	-2.29	-2.26	-2.23	-2.20	-2.17	-2.14	-2.12	-2.10	-2.07
0.02	-2.05	-2.03	-2.01	-2.00	-1.98	-1.96	-1.94	-1.92	-1.91	-1.9
0.03	-1.88	-1.87	-1.85	-1.84	-1.83	-1.81	-1.80	-1.79	-1.77	-1.76
0.04	-1.75	-1.74	-1.73	-1.72	-1.71	-1.70	-1.68	-1.67	-1.66	-1.65
0.05	-1.64	-1.64	-1.63	-1.62	-1.61	-1.60	-1.59	-1.58	-1.57	-1.56
0.06	-1.55	-1.54	-1.54	-1.53	-1.52	-1.51	-1.51	-1.5	-1.49	-1.48
0.07	-1.48	-1.47	-1.46	-1.45	-1.45	-1.44	-1.43	-1.43	-1.42	-1.41
0.08	-1.41	-1.40	-1.39	-1.39	-1.38	-1.37	-1.37	-1.36	-1.35	-1.35
0.09	-1.34	-1.33	-1.33	-1.32	-1.32	-1.31	-1.30	-1.30	-1.29	-1.29
0.10	-1.28	-1.28	-1.27	-1.26	-1.26	-1.25	-1.25	-1.24	-1.24	-1.23
0.11	-1.23	-1.22	-1.22	-1.21	-1.21	-1.20	-1.20	-1.19	-1.19	-1.18
0.12	-1.18	-1.17	-1.17	-1.15	-1.16	-1.15	-1.15	-1.14	-1.14	-1.13
0.13	-1.13	-1.12	-1.12	-1.11	-1.11	-1.10	-1.10	-1.09	-1.09	-1.09
0.14	-1.08	-1.08	-1.07	-1.07	-1.06	-1.06	-1.05	-1.05	-1.05	-1.04
0.15	-1.04	-1.03	-1.03	-1.02	-1.02	-1.02	-1.01	-1.01	-1.00	-1.0
0.16	-0.99	-0.99	-0.99	-0.98	-0.98	-0.97	-0.97	-0.97	-0.96	-0.96
0.17	-0.95	-0.95	-0.95	-0.94	-0.94	-0.93	-0.93	-0.93	-0.92	-0.92
0.18	-0.92	-0.91	-0.91	-0.90	-0.90	-0.90	-0.89	-0.89	-0.89	-0.88
0.19	-0.88	-0.87	-0.87	-0.87	-0.86	-0.86	-0.86	-0.85	-0.85	-0.85
0.20	-0.84	-0.84	-0.83	-0.83	-0.83	-0.82	-0.82	-0.82	-0.81	-0.81
0.21	-0.81	-0.80	-0.80	-0.80	-0.79	-0.79	-0.79	-0.78	-0.78	-0.78
0.22	-0.77	-0.77	-0.77	-0.76	-0.76	-0.76	-0.75	-0.75	-0.75	-0.74
0.23	-0.74	-0.74	-0.73	-0.73	-0.73	-0.72	-0.72	-0.72	-0.71	-0.71
0.24	-0.71	-0.70	-0.70	-0.70	-0.69	-0.69	-0.69	-0.68	-0.68	-0.68
0.25	-0.67	-0.67	-0.67	-0.67	-0.66	-0.66	-0.66	-0.65	-0.65	-0.65
0.26	-0.64	-0.64	-0.64	-0.63	-0.63	-0.63	-0.63	-0.62	-0.62	-0.62
0.27	-0.61	-0.61	-0.61	-0.60	-0.6	-0.6	-0.59	-0.59	-0.59	-0.59
0.28	-0.58	0.58	-0.58	-0.57	-0.57	-0.57	-0.57	-0.56	-0.56	-0.56
0.29	-0.55	-0.55	-0.55	-0.54	-0.54	-0.54	-0.54	-0.53	-0.53	-0.53
0.30	-0.52	-0.52	-0.52	-0.52	-0.51	-0.51	-0.51	-0.50	-0.50	-0.50
0.31	-0.50	-0.49	-0.49	-0,49	-0,48	-0,48	-0,48	-0,48	-0,47	-0,47
0.32	-0.47	-0.46	-0.46	-0,46	-0,46	-0,45	-0,45	-0,45	-0,45	-0,44
0.33	-0.44	-0.44	-0.43	-0,43	-0,43	-0,43	-0,42	-0,42	-0,42	-0,42
0.34	-0.41	-0.41	-0.41	-0,40	-0,40	-0,40	-0,40	-0,39	-0,39	-0,39
0.35	-0.39	-0.38	-0.38	-0,38	-0,37	-0,37	-0,37	-0,37	-0,36	-0,36
0.36	-0.36	-0.36	-0.35	-0,35	-0,35	-0,35	-0,34	-0,34	-0,34	-0,33
0.37	-0.33	-0.33	-0.33	-0,32	-0,32	-0,32	-0,32	-0,31	-0,31	-0,31
0.38	-0.31	-0.30	-0.30	-0,30	-0,30	-0,29	-0,29	-0,29	-0,28	-0,28
0.39	-0.28	-0.28	-0.27	-0,27	-0,27	-0,27	-0,26	-0,26	-0,26	-0,26
0.40	-0.25	-0.35	-0.25	-0,25	-0,24	-0,24	-0,24	-0,24	-0,23	-0,23
0.41	-0.23	-0.23	-0.22	-0,22	-0,22	-0,21	-0,21	-0,21	-0,21	-0,20
0.42	-0.20	-0.20	-0.20	-0,19	-0,19	-0,19	-0,19	-0,18	-0,18	-0,18
0.43	-0.18	-0.17	-0.17	-0,17	-0,17	-0,16	-0,16	-0,16	-0,16	-0,15
0.44	-0.15	-0.15	-0.15	-0,14	-0,14	-0,14	-0,13	-0,13	-0,13	-0,13
0.45	-0.13	-0.12	-0.12	-0,12	-0,12	-0,11	-0,11	-0,13	-0,11	-0,10
0.46	-0.10	-0.10	-0.10	-0,09	-0,09	-0,09	-0,09	-0,08	-0,08	-0,08
0.47	-0.08	-0.07	-0.07	-0,07	-0,07	-0,06	-0,06	-0,06	-0,06	-0,05
0.48	-0.05	-0.05	-0.05	-0,04	-0,04	-0,04	-0,04	-0,03	-0,03	-0,03
0.49	-0.03	-0.02	-0.02	-0,02	-0,02	-0,01	-0,01	-0,01	-0,01	-0,00
0.50	0.00	0.00	0.01	0,01	0,01	0,01	0,02	0,02	0,02	0,02
0.51	0.03	0.03	0.03	0,03	0,04	0,04	0,04	0,04	0,05	0,05
0.52	0.05	0.05	0.06	0,06	0,06	0,06	0,07	0,07	0,07	0,07
0.53	0.08	0.08	0.08	0,08	0,09	0,09	0,09	0,09	0,10	0,10
0.54	0.10	0.10	0.11	0,11	0,11	0,11	0,12	0,12	0,12	0,12
0.55	0.13	0.13	0.13	0,13	0,14	0,14	0,14	0,14	0,15	0,15
0.56	0.15	0.15	0.16	0,16	0,16	0,16	0,17	0,17	0,17	0,17
0.57	0.18	0.18	0.18	0,18	0,18	0,19	0,19	0,19	0,20	0,20
0.58	0.20	0.20	0.21	0,21	0,21	0,21	0,22	0,22	0,22	0,23
0.59	0.23	0.23	0.23	0,24	0,24	0,24	0,24	00,25	0,25	0,25
0.60	0.52	0.26	0.26	0,26	0,26	0,27	0,27	0,27	0,27	0,28
0.61	0.28	0.28	0.28	0,29	0,29	0,29	0,30	0,30	0,30	0,30
0.62	0.31	0.31	0.31	0,31	0,32	0,32	0,32	0,32	0,33	0,33
0.63	0.33	0.33	0.34	0,34	0,34	0,35	0,35	0,35	0,35	0,36
0.64	0.36	0.36	0.36	0,37	0,37	0,37	0,37	0,37	0,38	0,38
0.65	0.39	0.39	0.39	0,39	0,40	0,40	0,40	0,40	0,40	0,40
0.66	0.41	0.42	0.42	0,42	0,42	0,43	0,43	0,43	0,43	0,44
0.67	0.44	0.44	0.45	0,45	0,45	0,45	0,45	0,46	0,46	0,46
0.68	0.47	0.47	0.47	0,48	0,48	0,48	0,48	0,49	0,49	0,49
0.69	0.5	0.50	0.50	0,50	0,51	0,51	0,51	0,52	0,52	0,52
0.70	0.52	0.53	0.53	0,53	0,54	0,54	0,54	0,54	0,55	0,55
0.71	0.55	0.56	0.56	0,56	0,57	0,57	0,57	0,57	0,58	0,58
0.72	0.58	0.59	0.59	0,59	0,59	0,60	0,60	0,60	0,61	0,61
0.73	0.61	0.62	0.62	0,62	0,63	0,63	0,63	0,63	0,64	0,64
0.74	0.64	0.65	0.65	0,65	0,66	0,66	0,66	0,67	0,67	0,67
0.75	0.67	0.68	0.68	0,68	0,69	0,69	0,69	0,70	0,70	0,70
0.76	0.71	0.71	0.71	0,72	0,72	0,72	0,72	0,73	0,73	0,74
0.77	0.74	0.74	0.75	0,75	0,75	0,76	0,76	0,76	0,78	0,77
0.78	0.77	0.78	0.78	0,78	0,79	0,79	0,79	0,79	0,80	0,80
0.79	0.81	0.81	0.81	0,82	0,82	0,82	0,82	0,83	0,83	0,84
0.80	0.84	0.85	0.85	0,85	0,86	0,86	0,86	0,86	0,87	0,87
0.81	0.88	0.88	0.89	0,89	0,89	0,900	0,90	0,90	0,91	0,91
0.82	0.92	0.92	0.92	0,93	0,93	0,93	0,94	0,91	0,95	0,95
0.83	0.95	0.96	0.96	0,97	0,97	0,97	0,98	0,98	0,99	0,99
0.84	0.99	1.00	1.00	1,01	1,01	1,02	1,02	1,02	1,03	1,03
0.85	1.04	1.04	1.05	1,05	1,05	1,06	1,06	1,06	1,07	1,08
0.86	1.08	1.09	1.09	1,09	1,10	1,10	1,11	1,11	1,12	1,12
0.87	1.13	1.13	1.14	1,14	1,15	1,15	1,16	1,16	1,17	1,17
0.88	1.18	1.18	1.19	1,19	1,20	1,20	1,21	1,21	1,22	1,22
0.89	1.23	1.23	1.24	1,24	1,25	1,25	1,26	1,26	1,27	1,27
0.90	1.28	1.29	1.29	1,30	1,30	1,31	1,32	1,32	1,33	1,33
0.91	1.34	1.35	1.35	1,36	1,37	1,37	1,38	1,38	1,39	1,40
0.92	1.41	1.41	1.42	1,43	1,43	1,44	1,45	1,45	1,45	1,47
0.93	1.48	1.48	1.49	1,50	1,51	1,51	1,52	1,52	1,54	1,54
0.94	1.55	1.56	1.57	1,58	1,59	1,60	1,61	1,61	1,63	1,64
0.95	1.64	1.65	1.66	1,67	1,68	1,70	1,71	1,71	1,73	1,74
0.96	1.75	1.76	1.77	1,79	1,80	1,81	1,83	1,83	1,85	1,87
0.97	1.88	1.90	1.91	1,93	1,94	1,96	1,98	1,98	2,01	2,03
0.98	2.05	2.07	2.10	2,12	2,14	2,17	2,20	2,20	2,26	2,29
0.99	2.33	2.37	2.41	2,46	2,51	2,58	2,65	2,65	2,88	3,09

Приложение 5.

Квантили распределения величины

или

n \ q	0.10	0.05	0.025	0.01
3	1.406	1.412	1.414	1.414
4	1.645	1.689	1.710	1.723
5	1.791	1.869	1.917	1.955
6	1.894	1.996	2.067	2.130
7	1.974	2.093	2.182	2.265
8	2.041	2.172	2.273	2.374
9	2.097	2.237	2.349	2.464
10	2.146	2.294	2.414	2.540
11	2.190	2.343	2.470	2.606
12	2.229	2.387	2.519	2.663
13	2.264	2.426	2.562	2.714
14	2.297	2.461	2.602	2.759
15	2.326	2.493	2.638	2.800
16	2.354	2.523	2.670	2.837
17	2.380	2.551	2.701	2.871
18	2.404	2.557	2.728	2.903
19	2.426	2.600	2.754	2.932
20	2.447	2.623	2.778	2.959
21	2.467	2.644	2.801	2.984
22	2.486	2.664	2.823	3.008
23	2.504	2.683	2.843	3.030
24	2.520	2.701	2.862	3.051
25	2.537	2.717	2.880	3.071

Примечание. В таблице даны значения обратной функции (x) для нормального распределения, т.е. величина отклонений, вероятность не превзойти которые равна

,

где второе слагаемое в правой части представляет нормированную функцию Лапласа (при аргументе ).

Пример. Пусть требуется найти величину отклонения . Вероятностьдля нормированной нормально распределенной (с параметрамиa и ) величины Y равна p=0.877.

По таблице 4 при аргументе p=0.877 находим .