РГР Кратные интегралы 13 вариант (1-7 зад)

7 _ 06 _13

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: y = 20 − x2 , y = −8x.

Решение:

Найдем точки пересечения графиков функций:

20 − x2

= −8x

x2 −8x −20 = 0

x =10

x = −2

S = SD1

+ SD2

+ SD3

= ∫∫dxdy + ∫∫dxdy + ∫∫dxdy =

D1

D2

D3

8

20−x2

10

20−x2

10

(20 +8x − x2 )dx =

x

3

10

∫dx

∫

dy =

∫dx(y)

=

∫

20x + 4x2

−

=

−8 x

−2

−8 x

−2

−2

3

−2

= 200 +

400 −

1000

−

8

+16

=

864

= 288

3

−40 +

3

3

7 _ 07 _13

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

y2	−4 y + x2	= 0,
y2	−6 y + x2	= 0,

y = 3x, x = 0.

Решение:

Два первых уравнения легко преобразовать к виду:

(y −2)2 + x2 = 4 (y −3)2 + x2 = 9

Эти уравнения определяют окружности. Введем полярную систему координат:

x = r cosϕ

y = r sin ϕ

Окружность y2 −4 y + x2 = 0 имеет полярное уравнение

r2 sin2 ϕ −4r sin ϕ + r2 cos2 ϕ = 0. Откуда r = 4sin ϕ. Аналогично y2 −6 y + x2 = 0 r2 sin2 ϕ −6r sin ϕ + r2 cos2 ϕ = 0 r = 6sin ϕ.

Прямая y =	3x имеет полярное уравнение r sinϕ = 3r cosϕ.
Откуда tgϕ =	3 ϕ =π	3	. Аналогично

x = 0 r cosϕ = 0 cosϕ = 0 ϕ =π 2

Тогда площадь фигуры будет определяться по формуле:

π / 2

6 sin ϕ

π / 2

r

2

S = ∫∫dxdy = ∫ dϕ

∫

rdr =

∫

dϕ

2

D

π / 3

4 sin ϕ

π / 3

5

π 2

1

π

=

5ϕ −

sin 2ϕ

= 5

+

2

2

π

3

4

6 sin ϕ

= π∫/ 210sin2 ϕdϕ =

4 sin ϕ	π / 3