Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по формулам Крамера.

Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством= а₁₁а₂₂-а₁₂а₂₁.

Например, Вычислить определитель = 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 ==26

Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца.

Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством= а₁₁*а₂₂*а₃₃+ а₁₂*а₂₃*а₃₁+ а₁₃*а₃₂*а₂₁– (а₁₃*а₂₂*а₃₁+а₃₂*а₂₃ *а₁₁+а₃₃*а₁₂*а₂₁).

Например, = 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) = -12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= - 10

Перечислим свойства определителей:

1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.

2. Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух любых строк или столбцов.

3. Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца одинаковы.

4. Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.

Например, =

Алгебраическое дополнение. Минор.

Минором М_ijэлемента а_ijназывается определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij. Минор М_ij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.

Например, в определителе, Минором к элементу 4 является М₁₃== = 10+2=12.

Алгебраическое дополнение А_ijесть минор М_ij , умноженный на (-1)^i+j, т.е.

А_ij= (-1)^i+j M_ij

В приведенном примере А₁₃= (-1)¹⁺³М₁₃ = (-1)⁴*= 10+2=12.

В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.

Продолжим изложение свойств определителей.

6. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.

Например, = а₁₁*А₁₁ +а₁₂*А₁₂+а₁₃*А₁₃; правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки.

7. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

Например, а₁₁А₂₁+а₁₂А₂₂+а₁₃А₂₃=0.

Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого порядка.

Пример. Вычислить определительдвумя способами.

первый способ.= 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 + +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.

Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца.= -3 А₁₂+ 5А₂₂+ 1А₃₂= -3(-1)¹⁺²+ 5(-1)²⁺²+(-1)³⁺²= -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+ а₁₃х₃ = в₁

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+ а₂₃х₃= в₂

а₃₁х₁+ а₃₂х₂+ а₃₃х₃= в₃

Это система трех уравнений с тремя неизвестными х₁, х₂, х₃. Вещественные числа а_ij(i =, j= ) называются коэффициентами системы. в₁, в₂, в₃– свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в₁, в₂, в₃, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+ а₁₃х₃ = 0

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+ а₂₃х₃= 0

а₃₁х₁+ а₃₂х₂+ а₃₃х₃= 0

и называется однородной.

По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.

Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:

Δ =

Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Х₁= Δх₁/ Δ; х₂== Δх₂/ Δ; х₃== Δх₃/ Δ; где

Δх₁=; Δх₂=; Δх₃=.

Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х₁=∆х₂=∆х₃ отличен от нуля, то система несовместна.

Если определитель системы ∆=0, и ∆х₁=∆х₂=∆х₃=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).

Пример. Решить систему уравнений:

Х+ 2у – z = 1

-3х + у = 2z = 0

х + 4у + 3z = 2

1. Вычислим определитель системы ∆ = = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.

Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.

2. Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х = = 5; ∆у == 13; ∆z == 1.

3. По формулам Крамера находим решение системы:

Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;

Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).

По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Пример Решить систему уравнений.

х- у+z=1

х + у – z=2

5х + у – z=7

1. Составим и вычислим определитель системы ∆= = 0.

2. Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х == 0, ∆у == -2

Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.